4.3.2 对数的运算 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

4.3.2　对数的运算(1)
1. 掌握对数的运算性质，并掌握推导这些性质的依据和方法.
2. 弄清对数运算性质成立的条件，并能较灵活地运用性质解决问题.
活动一 对数运算性质
我们已知道，指数幂运算有相关的性质，那么，对数运算又有怎样的性质呢？
思考1
指数幂运算有哪些性质？
思考2
指数式与对数式的互化公式是怎样的？
思考3
根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？
(1) 设loga2＝m，loga3＝n，求am＋n的值；
(2) 设logaM＝m，logaN＝n，试利用m，n表示loga(M·N).
在思考3的第(2)题中，我们得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，进行m，n的代换后就得到对数的一条运算性质，即loga(M·N)＝logaM＋logaN.
思考4
同样地，由am÷an＝am－n和(am)n＝amn，可得到对数运算的其他性质：loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM（a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R）.你能不能推导出来呢？
上述证明运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数的定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”“商的对数＝对数的差”“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”．有时可逆用运算性质，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
例1　求下列各式的值：
(1) log2(23×45)；
(2) log5125.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
求下列各式的值：
(1) lg ；
(2) log2(47×25).
例2　用ln x，ln y，ln z表示ln .
用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1) loga；
(2) loga.
活动二　对数运算性质的应用　
例3　已知lg 2＝a，lg 3＝b，求下列各式的值：
(1) lg 12；
(2) lg .
将待求式子用已知式子中的对数表示，关键是建立对数式底数与真数的联系，在运算过程中应注意运算性质的灵活运用．
已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值（结果保留4位小数）：
(1) lg 18；　　　　　　　　　(2) lg .
活动三　利用对数运算性质求值或化简　
例4　计算或化简下列各式：
(1) (lg 2)2＋lg 2×lg 5＋lg 50；
(2) log2（1＋＋）＋log2（1＋－）；
(3) loga＋loga＋loga(a＞0，a≠1).
利用对数的运算性质解决问题的一般思路：
(1) 把复杂的真数化简；
(2) 正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；
(3) 逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
计算下列各式的值：
(1) lg －lg ＋lg ；
(2) lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
1. （2025重庆部分区期末）若lg m－lg n＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. mn＝10　 B. m－n＝10　 C. 10m＝n　 D. m＝10n
2. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.25，则其视力的五分记录法的数据约为（参考数据：lg 2≈0.3）(　　)
A. 4.4 B. 4.7 C. 4.9 D. 5.2
3. （多选）（2025福州闽侯县六中月考）下列等式中，不成立的是(　　)
A. log2(8－4)＝log28－log24 B. ＝log2
C. log223＝3log22 D. log2(8＋4)＝log28＋log24
4. （2025呼伦贝尔期末）8＋(lg 5)2＋lg 2lg 50＋|3－π|＝　　　　．
5. 计算：
(1) eln 3＋log25；
(2) lg 4＋lg 25＋9×.
4.3.2　对数的运算(2)
1. 进一步熟悉对数的运算性质，并能灵活地运用性质解决问题.
2. 掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
3. 掌握对数的实际应用．
活动一 换底公式
数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数．
思考
(1) 利用计算工具求ln 2， ln 3的近似值；
(2) 根据对数的定义，你能利用ln 2，ln 3的值求log23的值吗？
(3) 根据对数的定义，你能用logca， logcb表示logab（a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1）吗？
例1　设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：
(1) logab＝；
(2) loganbm＝logab(m∈R，n∈R，n≠0).
已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝.
利用换底公式可推导出下面的结论：
(1) logambn＝logab；
(2) logab＝（或logab·logba＝1）.
活动二 利用换底公式化简求值　　
例2　求log89×log332的值．
(1) 计算：log225×log3×log5；
(2) 计算：(log43＋log83)×.
利用换底公式计算、化简、求值问题的方法：
(1) 先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成统一底．
(2) 一次性地统一换为常用对数（或自然对数），再化简、通分、求值．
活动三 用已知对数表示其他对数
例3　已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示log4518.
已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1) 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
(2) 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3) 注意一些派生公式的使用．
活动四 对数的实际应用
例4　1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%，专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90大约还剩百分之几？（参考数据：lg 0.975 3≈－0.010 86）
例5　要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性碳14.动植物死亡后，停止了新陈代谢，碳14不再产生，且原有的碳14会自动衰变，经过5 730年（碳14的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若碳14的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y＝0.999 879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中碳14的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代．（lg 0.879≈－0.056 0，lg 0.999 879≈－5.255 3×10-5，结果保留整数）
关于对数运算在实际问题中的应用：
(1) 在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2) 在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余量是原来的？（结果精确到个位，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
1. （2025常德期末）设a＝ln 5，b＝ln 7，则log735等于(　　)
A. 5b B. ab C. 1＋ D. 1＋
2. （2025福州期末）随着新能源电动汽车在汽车市场的占有量不断扩大，新型动力电池也随之迎来了蓬勃发展的机遇. Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝15 A时，放电时间t＝28 h，则当放电电流I＝10 A时，放电时间为(　　)
A. 56 h B. 58 h C. 60 h D. 62 h
3. （多选）（2024淄博期中）下列运算中，正确的是(　　)
A. 2log510＋log50.25＝2 B. log427×log258×log95＝
C. log4＋log23＝1 D. eln 2+ln 3＝6
4. （2024晋中期末）已知log2a－2loga4＝3(a>1)，则a＝　　　　．
5. 已知m>0，n>0，log4m＝log8n＝log16(2m＋n). 求log2－log4n的值．
4．3.2　对数的运算(1)
【活动方案】
思考1：am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；(ab)t＝atbt.
思考2：ax＝N logaN＝x.
思考3：(1) 由loga2＝m，得am＝2；由loga3＝n，得an＝3，所以am＋n＝am·an＝2×3＝6.
(2) 由logaM＝m，得am＝M；由logaN＝n，得an＝N，
所以M·N＝am·an＝am＋n，所以loga(M·N)＝m＋n.
思考4：令M＝am，N＝an，则＝am÷an＝am－n，
所以m－n＝loga.
又M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN，
所以logaM－logaN＝m－n＝loga.
当n≠0时，令logaM＝p，由对数定义可得M＝ap，
所以Mn＝(ap)n＝anp，
所以logaMn＝np，将logaM＝p代入，
即证得logaMn＝nlogaM.
当n＝0时，显然成立，所以logaMn＝nlogaM.
例1 (1) log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.
(2) log5125＝log553＝3log55＝3.
跟踪训练　(1) lg ＝lg 100＝lg 100＝.
(2) log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
例2 ln ＝ln (x2)－ln ＝ln x2＋ln －ln ＝2ln x＋ln y－ln z.
跟踪训练　(1) loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz.
(2) loga＝loga()－logaz3＝loga＋loga－logaz3＝logax＋logay－3logaz.
例3 (1) lg 12＝lg (22×3)＝lg 22＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.
(2) lg ＝lg 33－lg 24＝3lg 3－4lg 2＝3b－4a.
跟踪训练　(1) lg 18＝lg (2×32)＝lg 2＋lg 32＝lg 2＋2lg 3≈0.301 0＋2×0.477 1＝1.255 2.
(2) 方法一：lg ＝lg 45＝lg ＝(lg 9＋lg 10－lg2)＝(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3＋－lg 2≈0.477 1＋0.5－0.5×0.301 0＝0.826 6.
方法二：lg ＝lg 45＝lg (5×9)＝(lg 5＋2lg 3)＝(1－lg 2＋2lg 3)＝－lg 2＋lg 3≈0.5－0.5×0.301 0＋0.477 1＝0.826 6.
例4 (1) 原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg (5×10)＝lg 2×lg 10＋lg 5＋lg 10＝lg 2＋lg 5＋1＝1＋1＝2.
(2) 原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)]＝log2[(1＋)2－3]＝log2(3＋2－3)＝log22＝.
(3) 原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－＝logaa－nlogaa－logaa＝－n－＝－n.
跟踪训练　(1) 方法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
方法二：原式＝lg －lg 4＋lg 7＝lg ＝lg (×)＝lg ＝.
(2) 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
【检测反馈】
1. D　由lg m－lg n＝1，得lg ＝1，解得＝10，所以m＝10n.
2. A　根据表达式L＝5＋lg V，代入V＝0.25，得L＝5＋lg 0.25＝5＋lg 25－2＝3＋2lg 5＝5－2lg 2≈5－2×0.3＝4.4.
3. ABD　对于A，log2(8－4)＝log24＝2，log28－log24＝3－2＝1，故A不成立；对于B，＝，log2＝log22＝1，故B不成立；对于C，log223＝3＝3log22，故C成立；对于D，log2(8＋4)＝log212＝2＋log23，log28＋log24＝3＋2＝5，故D不成立. 故选ABD.
4. 2＋π　原式＝(23)＋(lg 5)2＋lg 2lg (10×5)＋π－3＝22＋(lg 5)2＋lg 2(1＋lg 5)＋π－3＝1＋(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 2＋π＝1＋(lg 5＋lg 2)lg 5＋lg 2＋π＝1＋lg 5＋lg 2＋π＝2＋π.
5. (1) 原式＝3＋log()4＝3＋4＝7.
(2) 原式＝lg 22＋lg 52＋3×3＝2lg 2＋2lg 5＋3×3＝2＋3＝5.
4．3.2　对数的运算(2)
【活动方案】
思考：(1) ln 2≈0.693 15, ln 3≈1.098 61.
(2) 设log23＝x，则2x＝3，
于是ln 2x＝ln 3，即x ln 2＝ln 3，
所以x＝≈1.585 0，故log23≈1.585 0.
(3) 设logab＝x，则ax＝b，于是logcax＝logcb，
则xlogca＝logcb，
即logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
我们把上式叫做对数换底公式．
例1 (1)因为a，b均为不等于1的正数，
所以左边＝＝＝右边．
(2)因为a，b均为不等于1的正数，m∈R，n∈R，n≠0，
所以左边＝＝＝logab＝右边．
跟踪训练　设3a＝4b＝6c＝k，则k>1，
所以a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，
则＋＝＋＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36＝2logk6.
又＝＝2logk6，
所以＋＝，得证．
例2 原式＝×＝×＝.
跟踪训练　(1) 原式＝log252×log32-4×log53-2＝××＝16.
(2) 原式＝×＝×lg 2＝.
例3 log4518＝＝＝＝＝＝＝＝.
跟踪训练　方法一：因为log189＝a，所以9＝18a.
又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝＝
＝＝＝，
所以原式＝.
方法二：因为18b＝5，所以log185＝b，
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝.
例4 设n年后的锶90的剩余含量为f(n)，
则f(n)＝(1－2.47%)n，
所以f(800)＝(1－2.47%)800＝0.975 3800.
两边取常用对数，得lg f(800)＝800lg 0.975 3≈－9,
所以f(800)≈10-9＝＝%，
故到那时原有的锶90大约还剩%.
例5 由题设可知，原始含量为1的碳14经过x年后的残余量是y＝0.999 879x.
由y＝87.9%＝0.879可知，0.879＝0.999 879x，
两边取常用对数，得x lg 0.999 879＝lg 0.879，
从而x＝≈1 066.
故古莲子约是1 066年前的产物．
跟踪训练　设这种放射性物质最初的质量是1，经过 x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
由题意，得＝0.75x，即x＝＝＝≈≈4，
所以大约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
【检测反馈】
1. D　由换底公式，得log735＝＝＝＝1＋.
2. A　由题意，得C＝×28＝·t，则t＝＝×28＝2×28＝56(h).
3. ACD　对于A，2log510＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log552＝2，故A正确；对于B，log427×log258×log95＝××＝＝，故B错误；对于C，log4＋log23＝log222＋log23＝log2＋log23＝log2＝log22＝1，故C正确；对于D，eln 2+ln 3＝eln 2·eln 3＝2×3＝6，故D正确．故选ACD.
4. 16　由题意，得log2a－2loga4＝log2a－4loga2＝3，且a>1，令t＝log2a>0，则loga2＝，可得t－＝3，所以t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以log2a＝4，所以a＝16.
5. 设log4m＝log8n＝log16(2m＋n)＝k，
则m＝4k，n＝8k，2m＋n＝16k，
所以2×4k＋8k＝16k，即2×＋＝1，
即2×＋＝1，令＝t>0，
则2t2＋t－1＝0，解得t＝或t＝－1(舍去)，
所以log2－log4n＝log2－log2＝log2＝log2＝log2＝log2＝－.