4.4.1 对数函数的概念 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

4.4.1　对数函数的概念
1. 通过具体实例，了解对数函数的概念.
2. 结合具体实例，会求对数函数的解析式和定义域.
3. 从具体实例中体会对数型函数模型在实际问题中的应用．
活动一 对数函数的概念
在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题，对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究.
思考1
在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳 14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
思考2
根据指数与对数的关系，由y＝ax（a>0，且a≠1）可以得到x＝logay（a>0，且a≠1）吗？进而，x是y的函数吗？
一般地，函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
例1　若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝　　　　．
判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax（a＞0，且a≠1）这种形式. (1) 对数符号前面的系数是1；(2) 对数的底数是不等于1的正实数（常数）；(3) 对数的真数仅有自变量x.
例2　求下列函数的定义域：
(1) y＝log3x2；
(2) y＝loga(4－x) （a>0，且a≠1）.
求下列函数的定义域：
(1) y＝log3(1－x)；
(2) y＝；
(3) y＝log7.
求函数的定义域应考虑的几种情况：
求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．通常考虑的几种情况：(1) 中，f(x)≠0；(2) (n∈N*)中，f(x)≥0；(3) logaf(x)（a>0，且a≠1）中，f(x)>0；(4) logf(x)a(a>0)中，f(x)>0，且f(x)≠1；(5) [f(x)]0中，f(x)≠0.求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．
活动二 对数函数在实际问题中的应用
例3　假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为w.
(1) 该地的物价经过几年后会翻一番？
(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0
某企业2024年全年投入研发资金1亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是（参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）(　　)
A. 2025　　　　 B. 2026　　 C. 2027　　 D. 2028
利用指数、对数函数解决应用问题：
(1) 列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；
(2) 利用指对互化转化为对数函数y＝logax；
(3) 代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
1. （2024汕头月考）下列函数中，是对数函数的是(　　)
A. y＝x2 B. y＝log3(x－1)
C. y＝log(x＋1)x D. y＝logπx
2. 若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则实数a的值是(　　)
A. 1或2 B. 1
C. 2 D. a>0且a≠1
3. （多选）（2024深圳期末）下列各组函数中，是相同函数的是(　　)
A. f(x)＝与g(x)＝x B. f(x)＝2ln x与g(x)＝ln x2
C. f(x)＝22x与g(x)＝4x D. f(x)＝lg 与g(x)＝lg x－lg (x－1)
4. （2025北京期末）函数f(x)＝＋log2(5x－x2)的定义域是　　　　．
5. 已知f(x)＝logax（a>0且a≠1）的图象过点(4，2).
(1) 求实数a的值；
(2) 若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求函数g(x)的解析式及定义域．
4．4.1　对数函数的概念
【活动方案】
思考1：根据指数与对数的关系，由y＝(x≥0) 得到x＝logy(0思考2：根据指数与对数的关系，由y＝ax(a>0，且a≠1)可以得到x＝logay(a>0，且a≠1), x也是y的函数．通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，将x＝logay(a>0，且a≠1)中的字母x和y对调，写成y＝logax(a>0，且a≠1).
例1 4　由对数函数的定义可知解得a＝4.
例2 (1) 因为x2＞0，即x≠0，
所以函数 y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2) 因为4－x＞0，即x＜4，
所以函数 y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
跟踪训练　(1) 由1－x>0，得x<1，
所以所求函数的定义域为{x|x<1}．
(2) 由log2x≠0，得x≠1.又x>0，
所以所求函数的定义域为{x|x>0且x≠1}．
(3) 由得x<，
所以所求函数的定义域为.
例3 (1) 由题意可知，经过t年后物价w为w＝(1＋5%)t，即w＝1.05t(t∈[0，＋∞)).
由对数与指数间的关系，可得t＝log1.05w，w∈[1，＋∞).
由计算工具可得，当w＝2时，t≈14，
所以该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
(2) 根据函数t＝log1.05w，w∈[1，＋∞)，利用计算工具，可得下表：
物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小．
跟踪训练　D　设该企业y年后全年投入的研发资金为x亿元，则x＝(1＋8%)y×1，即x＝1.08y，y∈[0，＋∞)，所以y＝log1.08x，x∈[1，＋∞).令x＝，得y＝log1.08＝≈≈4，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是2028年．
【检测反馈】
1. D　根据对数函数概念，结合选项可知y＝logπx是对数函数．故选D.
2. C　因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，所以a2－3a＋3＝1，a>0且a≠1，解得a＝2.
3. AC　对于A，f(x)＝＝x与g(x)＝x的定义域都为R，对应关系相同，二者是相同函数；对于B，函数f(x)＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，函数g(x)＝ln x2的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，不是相同函数；对于C，f(x)＝22x＝4x与g(x)＝4x的定义域都为R，对应关系相同，二者是相同函数；对于D，函数f(x)＝lg 的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，函数g(x)＝lg x－lg (x－1)的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，不是相同函数．故选AC.
4. (0，3)∪(3，5)　由题意，得解得05. (1) 因为f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象过点(4，2)，
所以f(4)＝loga4＝2，所以a2＝4，
又a>0且a≠1，解得a＝2.
(2) g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2[(1－x)(1＋x)]＝log2(1－x2)，
其中1－x>0且1＋x>0，
所以g(x)的定义域为{x|－1