4.4.2 对数函数的图象和性质 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

4.4.2　对数函数的图象和性质(1)
1. 能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点.
2. 知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.
3. 通过研究对数函数的有关性质，培养观察、分析、归纳的能力．
活动一 对数函数的图象和性质
与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质．
不妨先画函数y＝log2x的图象．
思考1
请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y＝log2x的图象．
x 0.5 1 2 4 6 8 12 16
y －1 0 1
思考2
我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如y＝log2x和y＝x，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
思考3
选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值， 在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、 公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）的值域和性质吗？
　　
活动二 对数值的大小比较
例1　比较下列各组中两个值的大小：
(1) log23.4，log28.5；
(2) log0.31.8，log0.32.7；
(3) loga5.1，loga5.9（a>0，且a≠1）.
比较两个同底数的对数的大小，首先要根据对数底数判断对数函数的单调性，然后比较真数大小，再利用对数函数的单调性判断两个对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数进行讨论．
比较下列各组中两个值的大小：
(1) ln 0.3，ln 2；
(2) loga3.1，loga5.2（a>0，且a≠1）.
活动三 对数函数性质的实际应用
例2　溶液酸碱度的测量．溶液酸碱度是通过pH计量的. pH 的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol/L.
(1) 根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2) 已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋ ]＝10-7mol/L，计算纯净水的pH.
思考4
对于指数函数y＝2x，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们互为反函数吗？
活动四 对数函数性质的综合应用
例3　已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝(x＋7).
(1) 求f(1)，f(－1)的值；
(2) 求函数f(x)的表达式；
(3) 若f(a－1)－f(3－a)＜0，求实数a的取值范围．
本例中，若函数f(x)是偶函数，试求当x＜0时，函数f(x)的表达式．
图象与性质是解决对数函数问题的常用方法：
对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．
1. 已知函数f(x)＝log3(x－2)，则函数f(x)的定义域为(　　)
A. {x|x>0} B. {x|x<2}
C. {x|x≠2} D. {x|x>2}
2. （2025江油太白中学月考）设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. aC. b3. （多选）（2024广州月考）设a>0且a≠1，函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)与g(x)在各自的定义域内有相同的单调性
B. f(x)与g(x)两者的图象关于直线y＝x对称
C. f(x)与g(x)两者都既不是奇函数，又不是偶函数
D. f(x)与g(x)有相同的定义域和值域
4. （2025平凉期末）函数y＝loga(x＋4)＋4（a>0，且a≠1）的图象恒过定点　　　　．
5. 已知对数函数f(x)＝logax（a>0且a≠1）.
(1) 若函数f(x)的图象经过点(8，3)，求实数a的值；
(2) 若函数f(x)在区间[a，2a]上的最大值比最小值大2，求实数a的值．
4.4.2　对数函数的图象和性质(2)
1. 了解对数函数底数的大小与函数图象的关系.
2. 理解对数函数图象的画法及对数函数图象的平移，并能应用对数函数的性质解决相关问题.
3. 通过研究对数函数的有关性质，培养归纳和应用的思维能力．
活动一 对数函数底数的大小与函数图象的关系
思考1
观察如图所示函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图象，你能得出什么结论？
思考2
函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？
例1　(1) 比较下列各组数的大小：
①log3与log5；
②log1.10.7与log1.20.7.
(2) 已知b比较对数值大小的方法有很多：①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底数（利用换底公式）或利用对数函数的图象，数形结合来比较；③若不同底数，不同真数，则可利用中间值进行比较．
(1) 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系是　　　　；
(2) 已知logm7函数y＝logmx与y＝lognx中m，n的大小与图象的位置关系．当0图1　 图2 图3
例2　(1) 已知loga>1，求实数a的取值范围；
(2) 已知log0.72xlogaf(x)＝logag(x)（a＞0且a≠1）等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．
对于logaf(x)＞logag(x)等价于当0＜a＜1时，当a>1时，
已知函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是　　　　．
活动二　对数函数图象的平移变换　
例3　说明函数y＝log3(x＋2)与函数y＝log3x的图象的关系．
已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2(x＋1)的图象，y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
1. 当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向左平移a个单位长度就得到函数y＝f(x＋a)的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向右平移|a|个单位长度就得到函数y＝f(x＋a)的图象．
2. 当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向上平移a个单位长度就得到函数y＝f(x)＋a的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向下平移|a|个单位长度就得到函数y＝f(x)＋a的图象．
1. （2024六盘水期末）已知a>0且a≠1，loga>1，a<1，则实数a的取值范围是(　　)
A. （，） B. （，1） C. （，1） D. (1，3)
2. （2024厦门一中期中）函数f(x)＝ln (－x2＋2x＋3)的单调增区间为(　　)
A. (－1，1) B. (－∞，1) C. (1，3) D. (1，＋∞)
3. （多选）已知log3a>log3b，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A. 0<< B. log3(a－b)>0
C. 3a－b>1 D. （）a<（）b
4. （2024北京昌平期末）把函数y＝log3(x－1)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的，所得图象的函数解析式是　　　　．
5. 已知函数f(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)（a>0且a≠1）.
(1) 判断f(x)的奇偶性，并证明；
(2) 当a>1时，判断证明f(x)的单调性，并解不等式f(x－1)＋f(3－2x)≤0.
4.4.2　对数函数的图象和性质(3)
1. 熟练掌握对数函数的图象和性质，并能应用对数函数的图象和性质解决问题.
2. 理解含有绝对值对数函数图象的画法，体会数形结合、分类讨论等思想方法的应用.
3. 通过研究与对数函数有关的复合函数的性质，培养分析问题、解决问题的能力.
活动一 利用数形结合解决含绝对值对数函数的问题
例1　画出函数y＝log2|x|的图象，并根据图象写出函数的单调区间．
函数y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．
说明下列函数的图象与对数函数y＝log2x的图象的关系，并画出它们的示意图，根据图象写出它们的单调区间：
(1) y＝|log2x|；
(2) y＝log2(－x)；
(3) y＝－log2x.
例2　已知函数f(x)＝|logax|(0A. f>f(2)>f
B. f>f>f(2)
C. f(2)>f>f
D. f>f(2)>f
设方程10x＝|lg (－x)|的两个根分别为x1，x2，则下列结论中正确的是(　　)
A. x1x2＜0　　　　B. x1x2＝0
C. x1x2＞1 D. 0＜x1x2＜1
从以上两个例题可知，一般地含绝对值的对数函数的解析式有两种情形：
(1) 真数加上绝对值，改变原有的定义域．
(2) 解析式整体加上绝对值，改变原有的值域．
基于这两种情形，题型是可以变化的，如研究f(x)＝log2(|x|＋1)的图象性质，可先画x>0的部分图象，再从奇偶性判断图象关于y轴对称．
再如，函数f(x)＝|loga|x||尽管两处都含有绝对值符号，只需借助数形结合的思想，画出图象，就能准确地得到问题的答案．
活动二 利用对数函数的图象和性质解决函数单调性与奇偶性的问题
例3　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 讨论函数f(x)的单调性；
(3) 求函数f(x)在区间上的值域．
已知f(x)＝loga(a－ax)(a＞1).
(1) 求函数f(x)的定义域、值域；
(2) 判断函数f(x)的单调性，并证明．
例4　已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1) 求实数a的值；
(2) 若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)已知 “函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f(x＋a)－b是奇函数”，求函数h(x)＝log2图象对称中心的坐标．
1. 判断形如y＝logaf(x)的单调性时，常先分析f(x)的单调性，然后分a>1和02. 解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
1. （2024商丘期末）已知函数f(x)＝log3(x2－2kx＋5)在区间[1，2]上单调递减，则实数k的取值范围是(　　)
A. B. C. [2，） D. [2，＋∞）
2. （2025郴州期末）函数y＝|lg (x＋1)|的单调增区间是(　　)
A. (－1，0] B. [1，＋∞) C. (－1，＋∞) D. [0，＋∞）
3. （多选）（2025汕尾期末）已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)（a>0且a≠1）的定义域为R，对任意x1，x2∈R，当x10，则实数a的取值范围可以是(　　)
A. （2，2） B. （2，2） C. （2，4） D. （4，2）
4. （2025天津五十四中月考）设函数 y＝ln (x2－x＋1)，则下列结论中正确的有　　　　．（填序号）
①函数的定义域为R；
②函数是增函数；
③函数的值域为R；
④函数的图象关于直线x＝对称；
⑤函数的值域是.
5. 求函数f(x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
4．4.2　对数函数的图象和性质(1)
【活动方案】
思考1：
x 0.5 1 2 4 6 8 12 16
y －1 0 1 2 2.58 3 3.58 4
思考2：利用换底公式，可以得到y＝x＝－log2x.因为点(x，y)与点(x，－y)关于x轴对称，所以y＝log2x图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)都在y＝x的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用y＝log2x的图象画出y＝x的图象．
思考3：如图，选取底数a的若干值，用计算工具画图，发现对数函数y＝logax的图象按底数a的取值，可分为01两种类型．因此，对数函数的性质也可以分01两种情况进行研究．一般地，对数函数的图象和性质如图所示．
01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 (1) 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
(2) 减函数 (2) 增函数
例1 (1) log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2>1，对数y＝log2x是增函数，且3.4<8.5，所以log23.4(2) log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3<1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7.
(3) loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．
当a>1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1<5.9，所以loga5.1当0loga5.9.
跟踪训练　(1) 因为函数y＝ln x是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3(2) 当a>1时，函数y＝logax是增函数．又3.1<5.2，所以loga3.1loga5.2.
例2 (1) 根据对数的运算性质，
有pH＝－lg [H＋ ]＝lg [H＋]-1＝lg .
在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，减小，相应地，lg 也减小，即pH减小，所以随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．
(2) 当[H＋ ]＝10-7时，pH＝－lg 10-7＝7，
所以纯净水的pH是7.
思考4：对应的对数函数是y＝log2x，它们的定义域与值域正好互换，指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x互为反函数．
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
例3 (1) f(1)＝8＝－3，f(－1)＝－f(1)＝3.
(2) 因为f(x)在R上为奇函数，所以f(0)＝0.
令x＜0，则－x＞0，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋7)，
所以f(x)＝
(3) 当x∈(0，＋∞)时，y＝(x＋7)，
令u＝x＋7，则y＝u.
由于u＝x＋7是增函数，y＝u是减函数，
故y＝(x＋7)在区间(0，＋∞)上单调递减．
又f(x)是奇函数且f(0)＝0，
所以y＝f(x)是减函数．
由f(a－1)3－a，解得a>2.
故实数a的取值范围是(2，＋∞).
跟踪训练　令x＜0，则－x＞0.
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝(－x＋7)＝(7－x).
故当x＜0时，f(x)＝(7－x).
【检测反馈】
1. D　由x－2>0，解得x>2，所以函数f(x)的定义域为{x|x>2}．
2. D　由题意，得1＝303. ABC　易知f(x)＝ax，g(x)＝logax互为反函数，即它们的图象关于直线y＝x对称，故B正确；因为a相同，所以f(x)＝ax，g(x)＝logax在各自定义域上的单调性相同，且都是非奇非偶函数，故A，C正确；因为f(x)＝ax的定义域为R，值域为(0，＋∞)，g(x)＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R，所以f(x)与g(x)的定义域和值域都不同，故D错误. 故选ABC.
4. (－3，4)　因为y＝logax的图象过定点(1，0)，所以y＝loga(x＋4)＋4的图象恒过定点(－3，4).
5. (1) 因为对数函数f(x)的图象经过点(8，3)，
所以f(8)＝loga8＝3，
所以a3＝8，即a＝2.
(2) 当a>1时，f(x)＝logax在区间[a，2a]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2a)＝loga2a＝loga2＋1，
f(x)min＝f(a)＝logaa＝1.
因为最大值比最小值大2，
所以loga2＋1－1＝loga2＝2，解得a＝；
当0所以f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2＋1，
则1－(loga2＋1)＝－loga2＝2，
所以a2＝，解得a＝.
综上，实数a的值为或.
4．4.2　对数函数的图象和性质(2)
【活动方案】
思考1：对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)上，底数越大越靠近x轴；对于底数0思考2：由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1.因为 y＝logbx的图象在区间(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b例1 (1) ①因为log3＜log31＝0，log5＞log51＝0，所以log3＜log5.
②因为0＜0.7＜1，1.1＜1.2，所以0＞log0.71.1＞log0.71.2，所以＜.由换底公式，得log1.10.7＜log1.20.7.
(2) 因为y＝x为减函数，且b因为y＝2x是增函数，所以2b＞2a＞2c.
跟踪训练　(1) b2，所以log23.6>log22＝1.因为函数y＝log4x是增函数，且3.2<3.6<4，所以log43.2(2) 0例2 (1) 由loga>1，得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解；
②当0所以实数a的取值范围是.
(2) 因为函数y＝log0.7x是减函数，
所以由log0.72x解得x>1，
故x的取值范围是(1，＋∞).
跟踪训练　(－1，0)∪(1，＋∞)　①当a＞0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝a.因为f(a)＞f(－a)，即log2a＞a＝log2，所以a＞，解得a＞1；②当a＜0时，f(a)＝(－a)，f(－a)＝log2(－a).因为f(a)＞f(－a)，即(－a)＞log2(－a)＝，所以－a＜，解得－1＜a＜0.综上，实数a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).
例3 比较函数y＝log3(x＋2)与函数y＝log3x的取值关系，列表如下：
x y＝log3x y＝log3(x＋2)
… … …
－1 / 0
－0.5 / log31.5
0 / log32
1 0 1
1.5 log31.5 log33.5
2 log32 log34
3 1 log35
… … …
一般地，函数y＝log3(x＋2)中x＝a－2对应的y值与函数y＝log3x中x＝a对应的y值相等，则将对数函数y＝log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝log3(x＋2)的图象．这两个函数的图象如下图所示．
跟踪训练　将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝log2(x＋1)的图象，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0，0).
【检测反馈】
1. C　由loga>1＝logaa，a>0且a≠1，得2. A　由－x2＋2x＋3>0，得x2－2x－3<0，解得－13. CD　因为log3a>log3b，所以a>b>0.对于A，因为a>b>0，所以0<<，故A错误；对于B，当a＝2，b＝1时，log3(a－b)＝log31＝0，故B错误；对于C，因为a>b，a－b>0，所以3a－b>30＝1，故C正确；对于D，因为y＝()x在R上单调递减，a>b>0，所以()a<()b.又因为b>0，所以y＝xb在区间(0，＋∞)上单调递增，所以()b<()b，可得()a<()b，故D正确．故选CD.
4. y＝log3(2x－)　把函数y＝log3(x－1)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝log3(x－－1)＝log3(x－)的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数y＝log3(2x－)的图象．
5. (1) 函数f(x)为奇函数，理由如下：
对于函数f(x)，有解得－2则函数f(x)的定义域为(－2，2).
又f(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
(2) 任取x1，x2∈(－2，2)且x1则2－x1>0，2＋x1>0，2－x2>0，2＋x2>0，x1－x2<0，
因为f(x1)－f(x2)＝loga－loga＝loga＝loga所以f(x1)故函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增．
由f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
得f(x－1)≤－f(3－2x)＝f(2x－3)，
所以解得2≤x<，
所以不等式f(x－1)＋f(3－2x)≤0的解集为.
4．4.2　对数函数的图象和性质(3)
【活动方案】
例1 　当x≠0时，因为函数y＝f(x)＝log2|x|满足f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，
所以函数y＝log2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称．
当x>0时，log2|x|＝log2x.
因此，先画出函数y＝log2x(x>0)的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图形C2，C1和C2构成函数y＝log2|x|的图象，如图所示．由图象可知，函数y＝log2|x|的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0).
跟踪训练　(1) 保留y＝log2x的x轴上方的图象，将x轴下方的图象翻折上去，得到y＝|log2x|的图象，图象如图所示．
由图象知，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1].
(2) y＝log2(－x)的图象与y＝log2x的图象关于y轴对称，图象如图所示．
由图象知，减区间为(－∞，0)，没有增区间．
(3) y＝－log2x的图象与y＝log2x的图象关于x轴对称，图象如图所示．
由图象知，减区间为(0，＋∞)，没有增区间．
例2 B　由题意，得，，2不属于同一个单调区间．因为f(x)＝|logax|＝|－logax|＝f，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以f＝f(4)>f(3)＝f>f(2)，故选B.
跟踪训练　D　作出y＝10x与y＝|lg (－x)|的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg (－x1)，10x2＝－lg (－x2)，此时10x1＜10x2，即lg (－x1)＜－lg (－x2)，由此得lg (x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.
例3 (1) 由4x－1>0，解得x>0，
所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2) 设0所以log4(4x1－1)故函数f(x)是增函数．
(3) 由(2)，得函数f(x)在区间上单调递增，
又f＝0，f(2)＝log415，
所以函数f(x)在区间上的值域为[0，log415].
跟踪训练　(1) 为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a.
因为a＞1，所以x＜1，
故函数f(x)的定义域为(－∞，1).
又因为loga(a－ax)＜logaa＝1，所以f(x)＜1，
即函数f(x)的值域为(－∞，1).
(2) 函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减．证明如下：
在区间(－∞，1)上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)＝loga.
因为a＞1，x1＜x2＜1，所以ax1＜ax2＜a，
所以0＜a－ax2＜a－ax1，
所以＞1，所以loga＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减．
例4 (1) 因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以函数f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝，
解得a＝－1或a＝1.
当a＝1时，f(x)＝＝(－1)，舍去；
当a＝－1时，f(x)＝，满足题意．
综上，实数a的值为－1.
(2) 因为f(x)＋(x－1)＝＋(x－1)＝(1＋x)，
所以当x>1时，(1＋x)<－1.
又因为当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)故实数m的取值范围是[－1，＋∞).
跟踪训练　设h(x)＝log2的对称中心为P(a，b).
由题设知函数y＝h(x＋a)－b是奇函数．
设g(x)＝h(x＋a)－b，则g(x)＝log2－b，
即g(x)＝log2－b.
由不等式＞0的解集关于原点对称，得a＝2，
此时g(x)＝log2－b，x∈(－2，2).
任取x∈(－2，2)，由g(－x)＋g(x)＝0，得b＝1，
所以函数h(x)＝log2图象对称中心的坐标是(2，1).
【检测反馈】
1. C　由题意，得解得2≤k<.
2. D　作出y＝|lg (x＋1)|＝的图象如图所示，显然y＝|lg (x＋1)|的单调增区间为[0，＋∞).
3. AB　由题意，得x2－ax＋3>0(x∈R)，则Δ＝a2－12<0.又a>0且a≠1，所以0f(x2)，即f(x)在区间上单调递减，所以函数y＝logax为增函数，所以a>1.综上，实数a的取值范围为(1，2).故选AB.
4. ①④⑤　对于①，由x2－x＋1＝2＋>0恒成立，知函数y＝ln (x2－x＋1)的定义域为R，故①正确；对于②，二次函数y＝x2－x＋1＝2＋在区间上单调递减，在区间上单调递增，对数函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝ln (x2－x＋1)在区间上单调递减，在区间上单调递增，故②错误；对于③，⑤，由②知函数y＝ln (x2－x＋1)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当x＝时，函数取到最小值，为ln ＝ln ，即原函数的值域为，故③错误，⑤正确；对于④，由②知，函数y＝ln (x2－x＋1)的图象关于直线x＝对称，故④正确．综上，结论中正确的有①④⑤.
5. f(x)＝log2(4x)·＝(log2x＋2)·＝－[(log2x)2＋log2x－2].
设log2x＝t，由x∈，得t∈[－1，2]，
则y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
图象的对称轴为直线t＝－，
所以函数y＝－(t2＋t－2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当t＝－时，ymax＝；当t＝2时，ymin＝－2，
所以函数f(x)的值域为.