4.4.3　不同函数增长的差异 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

4.4.3　不同函数增长的差异
1. 掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．
2. 理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比较三种函数模型的性质．
3. 会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．
活动一 理解指数函数模型的“变化趋势”
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
例1　函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1) 请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2) 结合函数图象，判断f与g，f(2 020)与g(2 020)的大小．
三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 94.478 1 785.2 33 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108
y3 5 30 55 80 105 130 155
关于x呈指数增长的变量是　　　　．
思考1
选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？
活动二 理解对数函数模型的“变化趋势”
思考2
选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间(0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？
例2　三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　)
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3 C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
三种函数的增长速度比较：
(1) 在区间(0，＋∞)上，一次函数y＝kx(k>0)，对数函数y＝logax(a>1)和指数函数y＝bx(b>1)都单调递增，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2) 在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，指数函数y＝bx(b>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于一次函数y＝kx(k>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
(3) 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax活动三 根据函数增长差异确定图象并比较大小
例3　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1) 请指出示意图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2) 结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1) 指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2) 比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较）.
1. 解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．
2. 体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．
1. （2024邢台月考）已知对数函数f(x)＝log2x，一次函数g(x)＝x－，则当f(x)的图象位于g(x)的图象下方时x的取值范围为(　　)
A. (0，1)∪(4，＋∞) B. (0，1)∪(3，＋∞)
C. (0，2)∪(4，＋∞) D. (0，2)∪(3，＋∞)
2. 有一组实验数据如下表所示，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0
v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0
A. v＝0.5t B. v＝0.5(t2－1)　 C. v＝log0.5t D. v＝log2t
3. （多选）已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列说法中正确的是(　　)
A. 随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2
B. 随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1
C. 当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y3
D. 当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度有时快于y1
4. 下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型的序号是　　　　．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；③y＝30＋lg (x＋1)；④y＝50.
5. （2025运城期末）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：
建立平台年数x 1 2 3
会员人数y（千人） 14 20 29
为了描述建立平台年数x(x∈N*)与该平台会员人数y（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①y＝＋b(a>0)；②y＝dlogcx＋e(d>0，c>1)；③y＝kax＋m(k>0，a>1).
(1) 根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；
(2) 根据第(1)问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过2 002千人，求t的最小值．
参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099，ln 5≈1.609.
4．4.3　不同函数增长的差异
【活动方案】
例1 　(1) C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2) 因为f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，
从图象上可以看出，
当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，所以f＜g；
当x＞2时，f(x)＞g(x)，
所以f(2 020)＞g(2 020).
跟踪训练　y2　从表格中可以看出，三个变量y1，y2，y3均是从5开始变化，且变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数增长．
思考1：一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内， ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有 ax>kx.
思考2：一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax例2 C　通过对指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
例3 (1) C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2) 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1所以x1<6x2.
从图象上可以看出，当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020).
又因为g(2 020)>g(6)，
所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6).
跟踪训练　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).
【检测反馈】
1. A　作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则对数函数f(x)＝log2x与一次函数g(x)＝x－的图象交于点A(1，0)，B(4，2)，所以f(x)的图象位于g(x)的图象下方时x的取值范围为(0，1)∪(4，＋∞).
2. D　由表格中的数据，作出数据的散点图(图略).数据散点图和对数函数v＝log2t的图象类似，所以选项D最能反映t，v之间的函数关系．
3. BD　如图，对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，所以随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，故A错误，B，D正确；对于y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈(0，1)时，y3大于y1，当x∈(1，＋∞)时，y1大于y3，y3再也追不上y1，所以y1的增长速度有时快于y3，故C错误．故选BD.
4. ①　结合三类函数的增长差异可知指数函数增长速度最快，所以①的预期收益最大．
5. (1) 从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：①增函数；②增长速度越来越快．因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③.
将数据代入y＝kax＋m(k>0，a>1)可得解得
所以函数的解析式为y＝8＋2，x∈N*.
(2) 由(1)知y＝8＋2，x∈N*，
则8＋2>2 002，即>250，t∈N*，
可得t>250＝＝≈≈13.60，
故t的最小值为14.