4.5.1　函数的零点与方程的解 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

4.5.1　函数的零点与方程的解
1. 结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．
2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解零点存在定理．
3. 体会并理解函数与方程的相互转化的数学思想．
活动一 函数零点的定义
在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．
思考1
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln x＋2x－6＝0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
思考2
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．那么，函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？
思考3
你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg (x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
活动二 函数零点存在定理
例1　判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)内是否存在零点．
思考4
你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点的一般方法吗？
思考5
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？
思考6
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？
函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.也就是说上述定理不可逆.
活动三　判断零点是否存在　
例2　求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)内存在零点．
例3　求证：函数f(x)＝2x＋2x－3有零点．
函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上是否存在零点？为什么？
活动四　判断函数零点的个数　
例4　求方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数．
本题不用计算列表、画图象也可得到结论：(1) 寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，因为f(2)＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(3)＝ln 3＋0>0，所以f(2)·f(3)<0.(2) 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论. 也就是将函数 f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数 y＝ln x与y＝－2x＋6图象的交点个数．
根据表格中的数据，可以判断方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是 (　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
例5　求函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数．
判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．
判断函数零点个数的常用方法：
(1) 解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．
(2) 直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数．
(3) 化函数的零点个数问题为方程g(x)＝h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数．
(4) 若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调．
1. （2025广州期末）在下列区间中，函数f(x)＝ex－2必有零点的是(　　)
A. (－1，0) B. (0，1) C. (1，2) D. (2，3)
2. （2024泸州期末）已知函数f(x)＝若方程f(x)－k＝0的实数解有3个，则实数k的取值范围是(　　)
A. [－5，＋∞） B. (－2，＋∞)　 C. （－5，－2] D. （－2，－1]
3. （多选）（2025昆明期末）已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)－1(aA. f(c)＝f(d)＝0
B. 方程f(x)＝－1的解集为{a，b}
C. 不等式f(x)<0的解集为{x|aD. a，b，c，d的大小关系是d>b>a>c
4. （2025上海大同中学月考）函数f(x)＝ln (3x2－2x＋1)的零点是　　　　．
5. 已知函数f(x)＝ax（a>0且a≠1）的图象经过点.
(1) 求实数a的值及f(x)在区间上的最大值；
(2) 若g(x)＝f(x)－x，求证：g(x)在区间(0，1)内存在零点．
4.5.1　函数的零点与方程的解
【活动方案】
思考1：对于不能用公式求解的方程f(x)＝0，我们可以把它与相应的函数y＝f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．
思考2：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
思考3：①x＝1；②x＝0；③没有零点；④x＝1.
例1 如图，因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，而二次函数f(x)＝x2－2x－1在区间[2，3]上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2，3)内一定穿过x轴，即函数在区间(2，3)内存在零点．
思考4：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
思考5：不一定成立，由下图可知，函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，但此时f(a)·f(b)>0，所以f(a)·f(b)<0不一定成立．
思考6：函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．
例2 因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1>0，
且函数f(x) 在区间[－2，－1]上的图象是连续不断的曲线，
所以函数f(x)在区间(－2，－1)内存在零点．
例3 因为f(0)＝20＋2×0－3＝－2＜0，f(1)＝21＋2×1－3＝1＞0，且函数f(x) 在区间[0，1]上的图象是连续不断的曲线，所以函数f(x)＝2x＋2x－3在区间(0，1)内有零点，从而函数f(x)＝2x＋2x－3有零点．
跟踪训练　函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上存在零点．理由如下：
因为f(－1)＝3-1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝30－02＝1＞0，
且函数f(x)在区间[－1，0]上的图象是连续不断的曲线，
所以函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上存在零点．
例4 设函数f(x)＝ln x＋2x－6，利用计算工具，列出y＝f(x)的对应值表，并画出图象．
由表和图可知，f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内至少有一个零点．
因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)只有一个零点，即相应方程ln x＋2x－6＝0只有一个实数解．
跟踪训练　C　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4>0.因为f(1)·f(2)<0，所以方程ex－(x＋2)＝0的一个根在区间(1，2)内．
例5 因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2＝lg 2>0，
所以f(x)在区间(0，1)内必定存在零点．
显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)有且只有一个零点．
跟踪训练　方法一：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，
则ln x＝3－x.
在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
方法二：因为f(3)＝ln 3>0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln <0，所以f(3)·f(2)<0，
说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2，3)内有零点．
又f(x)＝x－3＋ln x，x∈(0，＋∞)是增函数，
所以函数f(x)只有一个零点．
【检测反馈】
1. B　因为函数f(x)＝ex－2在定义域R内单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－2>0，所以函数f(x)有唯一零点，且零点在区间(0，1)内．
2. D　当x≤0时，f(x)＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5，当x＝－2时，f(x)有最小值－5，且此时f(0)＝－1；当x>0时，f(x)＝2x－3单调递增，作出函数f(x)的图象如图．若方程f(x)－k＝0的实数解有3个，则y＝f(x)与y＝k的图象有3个不同的交点，由图可知－23. ABD　对于A，因为c，d(cb>a>c，故D正确.故选ABD.
4. 0或　令f(x)＝ln (3x2－2x＋1)＝0，即3x2－2x＋1＝1，解得x＝0或x＝，所以函数的零点是0或.
5. (1) 因为函数f(x)＝ax（a>0且a≠1）的图象经过点，
所以a2＝，即a＝，
所以f(x)＝.
显然f(x)在区间上单调递减，
所以f(x)在区间上的最大值是f＝.
(2) 因为g(x)＝f(x)－x，
所以g(x)＝－x.
因为g(0)＝1>0，g(1)＝－<0，
所以g(0)·g(1)<0.
又g(x)在区间[0，1]上的图象是一条连续不断的曲线，
所以由零点存在定理，得g(x)在区间(0，1)内存在零点．