4.5.2　用二分法求方程的近似解 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

4.5.2　用二分法求方程的近似解
1. 探索二分法求方程近似解的思路并会画程序框图．
2. 能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．
活动一 二分法的概念
我们已经知道，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
思考1
如何缩小零点所在区间(2，3)的范围？
思考2
区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的区间内呢？
思考3
假设f(2.5)＝0说明什么？
思考4
如何进一步的缩小零点所在的区间？
思考5
若给定精确度0.01，如何选取近似值？
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 它是求一元方程近似解的常用方法．
运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间．
活动二 二分法求函数零点近似值的步骤
思考6
下列图象对应的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？
　　
用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1) 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0.
(2) 求区间(a，b)的中点c.
(3) 计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0（此时x0∈(a，c)），则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0（此时x0∈(c，b)），则令a＝c.
(4) 判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤(2)～(4) .
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．
活动三　用二分法求方程的近似解　
思考7
如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？
例1　利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解．（精确度为0.1）
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件（包括零点），又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.
借助计算器，用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．（精确度为0.1）
例2　利用计算器，求方程sin x＝1－x的近似解．（精确度为0.1）
思考8
用二分法求方程的一个近似解的操作流程是怎样的？
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右的函数值异号才能应用“二分法”求函数的零点．
用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个近似零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060
根据此数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解．（精确度为0.01）
1. 下列每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)
A B C D
2. （2025漳州期末）用二分法求函数f(x)＝ln x＋x－2在区间[1，2]上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. （多选）（2024南阳部分学校联考）下列方程中，可以用二分法求近似解的有(　　)
A. log2x＋x＝0 B. ex＋x＝0
C. x2－2x＋1＝0 D. ＋ln x＝0
4. （2025上海徐汇期末）用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，3)上的零点的近似值，由计算得f(2) ＝－2，f(3)＝0.625，f(2.5)＝－0.984，f(2.75)＝－0.26，下一个求f(m)，则m＝　　　　．
5. 用二分法求函数f(x)＝x3＋2x－1在区间(0，1)内的零点的近似值．（误差不超过0.1）
4.5.2　用二分法求方程的近似解
【活动方案】
思考1：取区间(2，3)的中点2.5.
思考2：用计算工具算得f(2.5)≈－0.084.因为 f(2.5)f(3)<0，所以零点在区间(2.5，3)内．
思考3：若f(2.5)＝0，则2.5就是函数的零点．
思考4：再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5， 2.75)内．
因为(2，3)?(2.5，3)?(2.5，2.75)， 所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如表和图）.这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 －0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2.625 0.215
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066
(2.5，2.562 5) 2.531 25 －0.009
(2.531 25，2.562 5) 2.546 875 0.029
(2.531 25，2.546 875) 2.539 062 5 0.010
(2.531 25，2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001
思考5：因为|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5<0.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0的近似解．
思考6：不能．因为不存在一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.
思考7：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．
例1 分别画出函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示．
在两个函数图象的交点处，函数值相等，
因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．
由图知，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，且x1∈(2，3).
设f(x)＝lg x＋x－3，用计算器计算，得
f(2)＜0，f(3)＞0 x1∈(2，3)，
f(2.5)＜0，f(3)＞0 x1∈(2.5，3)，
f(2.5)＜0，f(2.75)＞0 x1∈(2.5，2.75)，
f(2.5)＜0，f(2.625)＞0 x1∈(2.5，2.625)，
f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0 x1∈(2.562 5，2.625).
因为|2.625－2.562 5|＝0.062 5＜0.1，
所以原方程的近似解可取为2.562 5.
跟踪训练　令f(x)＝2x＋3x－7，
则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，
所以f(1)f(2)<0，
说明函数f(x)＝2x＋3x－7在区间(1，2)内有零点．
又f(x)在其定义域内是增函数，
所以函数f(x)只有一个零点，记为x0，则x0∈(1，2).
用计算器计算得
f(1)<0，f(2)>0 x0∈(1，2)，
f(1)<0，f(1.5)>0 x0∈(1，1.5)，
f(1.25)<0，f(1.5)>0 x0∈(1.25，1.5)，
f(1.375)<0，f(1.5)>0 x0∈(1.375，1.5)，
f(1.375)<0，f(1.437 5)>0 x0∈(1.375，1.437 5).
因为|1.437 5－1.375|＝0.062 5＜0.1，
所以原方程的近似解可取为1.375.
例2 因为方程sin x＝1－x可化为x＋sin x－1＝0，所以原方程的解即函数f(x)＝x＋sin x－1的零点．先画出函数y＝sin x和y＝1－x的图象，如图所示．
观察图象，因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin 1＞0，
所以函数f(x)的零点在区间(0，1)内，记为x0.
用计算器计算得
f(0)＜0，f(1)＞0 x0∈(0，1)，
f(0.5)＜0，f(1)＞0 x0∈(0.5，1)，
f(0.5)＜0，f(0.75)＞0 x0∈(0.5，0.75)，
f(0.5)＜0，f(0.625)＞0 x0∈(0.5，0.625)，
f(0.5)＜0，f(0.562 5)＞0 x0∈(0.5，0.562 5).
因为|0.562 5－0.5|＝0.062 5＜0.1，
所以原方程的近似解可取为0.5.
思考8：
跟踪训练　因为f(1.562 5)·f(1.556 2)<0，
所以函数的零点在区间(1.556 2，1.562 5)内．
因为|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，
所以方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.562 5.
【检测反馈】
1. C　由二分法的定义可知，只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因为在零点两侧的函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
2. C　闭区间[1，2]的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为用二分法求函数f(x)＝ln x＋x－2在区间[1，2]上的零点近似解，要求精确度为0.01，所以≤0.01.又＝>0.01，＝<0.01，所以n≥7，即所需二分区间的次数最少为7.
3. ABD　对于A，f(x)＝log2x＋x在区间(0，＋∞)上单调递增，其图象在区间(0，＋∞)上连续，且f＝－1＋<0，f(1)＝1>0，所以可以使用二分法求原方程的近似解；对于B，f(x)＝ex＋x在R上连续且单调递增，且f(0)＝1>0，f(－1)＝e-1－1<0，所以可以使用二分法求原方程的近似解；对于C，x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以不可以使用二分法求原方程的近似解；对于D，f(x)＝＋ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，其图象在区间(0，＋∞)上连续，且f＝－1<0，f(1)＝1>0，所以可以使用二分法求原方程的近似解．故选ABD.
4. 2.875　由二分法的求解过程知，下一个f(m)为f＝f(2.875)，所以m＝2.875.
5. 由题意，函数y＝x3＋2x－1在区间(0，1)上单调递增，则函数y＝x3＋2x－1在区间(0，1)上有唯一零点，列表如下：
次数 a，－ b，＋ m＝ f(m)的 近似值 区间长 b－a
1 0 1 0.5 0.125 1
2 0 0.5 0.25 －0.484 0.5
3 0.25 0.5 0.375 －0.197 0.25
4 0.375 0.5 0.437 5 －0.041 0.125
可得函数y＝x3＋2x－1在区间(0，1)上的零点的近似值为0.437 5，误差不超过0.1.