5.2　三角函数的概念 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念(1)
1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．
2. 掌握三角函数的定义域，会求给定角的三角函数值．
活动一 三角函数的定义（单位圆法）
如图，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况．
思考1
什么是单位圆？
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题．
如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
思考2 　
当α＝时，点P的坐标是什么？ 当α＝或 α＝时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
思考3 　
一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y).
(1) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
(2) 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
(3) 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) .
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数　y＝sin x，x∈R；
余弦函数　y＝cos x，x∈R；
正切函数　y＝tan x，x∈{x|x≠＋kπ(k∈Z)}．
例1　(1) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值；
(2) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值．
(1) 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β的值为(　　 )
A. － B. －
C. D.
(2) 已知角α的终边经过点（－，－），则sin α＝　　　　，cos α＝　　　　，tan α＝　　　　．
单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
活动二　坐标法求三角函数值　
思考4 　
初中所学的“锐角的正弦、余弦、正切”是放在什么三角形中定义的？它与x，y，r，α之间有什么联系？
思考5 　
对于确定的锐角α，上述三个比值是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？
思考6 　
对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离r怎样用x，y来表示？比值，，是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？
思考7 　
设角α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，如何求角α的各个三角函数值？
1. 根据相似三角形的知识，只要点P不与原点重合，三角函数值不会随点P在终边上的位置的改变而改变．
2. 要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”都是没有意义的．
例2　如图，已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦、正切值．
　
已知角α的终边过点P(x，3)，且sin α＝，求x的值．　
由于sin α，cos α，tan α的值与α的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择α终边上的特殊点来计算sin α，cos α，tan α的值，例如选择α的终边与单位圆的交点．
1. （2025杭州期末）若角α的终边经过点P(1，2)，则2sin α＋cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
2. （2024泉州期末）已知角α终边上有一点P（－，1），则tan α的值为(　　)
A. B. － C. D. －
3. （多选）（2024丽江月考）若角α的终边经过点Pm，，sin α＝，则实数m的值可能为(　　)
A. B. － C. D. －
4. （2024扬州月考）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为　　　　．
5. (1) 已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin α＋cos α的值；
(2) 已知角α终边上一点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．
5.2.1　三角函数的概念(2)
1. 借助任意角的三角函数定义理解并掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号．
2. 通过对三角函数定义的理解，掌握公式一并会应用．
活动一　三角函数的符号　
思考1 　
正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域是什么？
思考2
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？（将符号标在各个象限内）
　　
例1　求证：角θ为第三象限角的充要条件是
例2　确定下列正弦、余弦、正切值的符号：
(1) sin ；
(2) cos (－465°)；
(3) tan .
确定下列三角函数值的符号：
(1) cos 250°；
(2) sin ；
(3) tan (－672°)；　
(4) tan .
三角函数值在各象限内的符号规律：
根据三角函数的定义知：
(1) 正弦值的符号取决于纵坐标y的符号；
(2) 余弦值的符号取决于横坐标x的符号；
(3) 正切值当x，y同号时为正，异号时为负．
由此，三角函数值在各象限内的符号规律可用口诀表示为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限内各三角函数值均为正，第二象限内只有正弦值为正，第三象限内只有正切值为正，第四象限内只有余弦值为正．
活动二　公式一的应用　
思考3 　
根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
1. 公式一：
sin (α＋k·2π)＝sin α，
cos (α＋k·2π)＝cos α，
tan (α＋k·2π)＝tan α，
其中k∈Z.
2. 公式一的作用：
利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0～2π（或0°～360°）范围内与其终边相同的角的三角函数值．方法是先在0～2π（或0°～360°）的范围内找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一的形式，最后得出结果．
例3　求下列各式的值：
(1) cos ＋tan ；
(2) sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
化简下列各式：
(1) a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab·cos(－990°)；
(2) sin ＋cos ·tan 4π.
利用公式一进行化简求值的步骤：
(1) 定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π），k∈Z.
(2) 转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3) 求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
1. （2024衡水中学月考）若π<θ<，则点M(cos θ，tan θ)位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设α∈，则下列函数值一定是正值的是(　　)
A. tan α B. sin α C. cos α D. cos 2α
3. （多选）（2024榆林府谷中学月考）若tan α>0，则＋α可能是(　　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
4. （2024南开日新学校月考）设θ∈(0，2π)，点P(sin θ，cos θ)在第二象限，则角θ的取值范围是　　　　．
5. 确定下列三角函数值的符号：
(1) sin 186°；
(2) tan 505°；
(3) sin 7.6π；
(4) tan ；
(5) cos 940°；
(6) cos .
5.2.1　三角函数的概念(1)
【活动方案】
思考1：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆．
思考2：利用勾股定理可以发现，当α＝时，点P的坐标是；当α＝或α＝时，点P的坐标分别是(0，1)和.它们都是唯一确定的．
思考3：一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x，纵坐标y都是角α的函数．
例1 (1) 当α＝时，设α的终边与单位圆的交点P的坐标为(x，y)(x＞0，y＞0).
根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知y＝.
又由勾股定理得x2＋＝1，解得x＝，
所以点P的坐标为.
故sin ＝，cos ＝，tan ＝＝.
(2) 当α＝时，设α的终边与单位圆的交点为P′，
根据点P′与(1)中的点P关于y轴对称可知，
点P′的坐标为.
故sin ＝，cos ＝－，tan ＝＝－.
跟踪训练　(1) B　(2) －　－　
(1) 因为角α，β的终边分别与单位圆交于点和，所以由定义可知sin α＝，cos β＝－，所以sin αcos β＝×＝－.
(2) 因为＋＝1，所以点（－，－）在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
思考4：放在直角三角形中定义的，sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
思考5：根据相似三角形的知识可知，比值，，与角α终边上的点P的位置无关．
思考6：r＝，此时，P是角α的终边与半径为r的圆的交点（如图所示）.根据相似三角形的知识可知，比值，，与角α终边上的点P的位置无关．
　
思考7：根据勾股定理，得点P到原点的距离r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
例2 因为x＝2，y＝－3，
所以r＝＝，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－.　
跟踪训练　因为r＝，sin α＝＝，所以x＝±2.
【检测反馈】
1. C　由角α的终边经过点P(1，2)，得sin α＝＝，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝.
2. B　由题意，得角α终边上有一点P（－，1），故tan α＝＝－.
3. AB　由题意，得sin α＝＝，解得m＝±.故选AB.
4. 　因为角α的终边经过点P(－x，－6)，所以cos α＝＝－，所以解得x＝.
5. (1) 因为角α的终边经过点P(4，－3)，
所以OP＝＝5，
所以sin α＝，cos α＝，
所以2sin α＋cos α＝－.
(2) 因为角α终边上一点P到x轴的距离与y轴的距离之比为3∶4，
所以P(±4a，±3a)(a≠0)，
当角α的终边在第一象限时，cos α＝，sin α＝，
此时2sin α＋cos α＝2；
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝，
此时2sin α＋cos α＝；
当角α的终边在第三象限时，cos α＝－，sin α＝－，
此时2sin α＋cos α＝－2；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－，
此时2sin α＋cos α＝－.
综上，2sin α＋cos α的值为±2或±.
5.2.1　三角函数的概念(2)
思考1：
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
思考2：
　　
例1 先证充分性，即如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．
因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．
又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限，所以角θ为第三象限角．
再证必要性，即如果角θ为第三象限角，那么①②式都成立．
因为角θ为第三象限角，所以角θ的终边与单位圆的交点的横坐标x与纵坐标y都是负数，根据三角函数的定义知，y＝sin θ＜0，＝tan θ＞0，所以①②式都成立．
综上，角θ为第三象限角的充要条件是
例2 (1) 因为是第二象限角，所以sin ＞0.
(2) 因为－465°＝－2×360°＋255°，即－465°是第三象限角，所以cos (－465°)＜0.
(3) 因为＝2π＋，即是第四象限角，
所以tan ＜0.
跟踪训练　(1) 负　(2) 负　(3) 正　(4) 负
思考3：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．
例3 (1) 原式＝cos ＋tan ＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2) 原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (3×360°＋45°)＋cos (360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋＝.
跟踪训练　(1) 原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－2ab cos (－3×360°＋90°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 90°＝a2＋b2.
(2) 原式＝sin （－2π＋）＋cos ·tan 0＝sin ＋0＝.
【检测反馈】
1. B　因为π<θ<，则cos θ<0，tan θ>0，所以点M(cos θ，tan θ)位于第二象限．
2. C　由α∈，得当α∈时，tan α，sin α为负；当α∈时，cos α恒正；由2α∈(－π，π)，得cos 2α∈（－1，1].
3. BD　因为tan α>0，所以α是第一或第三象限角，即α∈（0，）∪（π，），所以＋α∈（，π）∪（π，2π），即α是第二或第四象限角．故选BD.
4. 　因为点P(sin θ，cos θ)在第二象限，所以则角θ在第四象限. 又θ∈(0，2π)，所以θ∈，即角θ的取值范围是.
5. (1) 因为186°为第三象限角，所以sin 186°<0.
(2) 因为505°为第二象限角，所以tan 505°<0.
(3) 因为7.6π＝6π＋1.6π为第四象限角，所以sin 7.6π<0.
(4) 因为－＝－6π＋为第一象限角，所以tan >0.
(5) 因为940°＝720°＋220°为第三象限角，所以cos 940°<0.
(6) 因为－＝－4π＋为第二象限角，所以cos <0.