5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
1. 了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．
2. 能利用正、余弦函数的图象解决简单问题．
3. 掌握正、余弦函数图象的区别与联系.
活动一 掌握正弦函数的图象
为了更加直观地研究三角函数的性质，我们可以先作出它们的图象，那么如何作出三角函数的图象？
思考1
在[0，2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？
问题　借助单位圆和正弦函数的定义，作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象．
思考2
根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝sin x，x∈R的图象吗？
思考3
在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
在精确度要求不太高时，我们常常先找出五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．这种作图方法称为“五点法”．
活动二 掌握余弦函数的图象
思考4
你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
思考5
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上起到关键性作用的点有哪些？
正弦函数、余弦函数图象上的关键点的异同：作余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象时，其中起关键作用的是函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象的最高点、最低点及其与x轴的交点．与正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象相比：二者的图象的最低点都只有一个；余弦函数的图象与x轴的交点有两个，而正弦函数的图象与x轴的交点有三个；余弦函数图象的最高点有两个，而正弦函数图象的最高点只有一个．
活动三　掌握用“五点法”作三角函数的图象　
例　画出下列函数的简图：
(1) y＝1＋sin x，x∈[0，2π]；
(2) y＝－cos x，x∈[0，2π].
　
1. 解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y的值，作出图象．
2. 五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
作出下列函数的简图：
(1) y＝－1－cos x，x∈[0，2π]；
(2) y＝＋sin x，x∈[0，2π].
思考6
你能利用函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝－cos x， x∈[0，2π]的图象？
1. （2024临沂月考）函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)
A. B. (π，1) C. (0，1) D. (2π，1)
2. 函数y＝sin (－x)，x∈[－π，π]的图象是(　　)
A B C D
3. （多选）对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述，其中正确的描述有(　　)
A. 将区间[0，2π]内的图象向左、向右无限延展
B. 与y＝sin x的图象形状完全一样，只是位置不同
C. 与x轴有无数个交点
D. 关于y轴对称
4. （2024滨州月考）设a为常数，若满足a＝sin x＋1，且x∈[－π，π]的x的值只有一个，则实数a的值为　　　　．
5. 已知函数f(x)＝2cos x－1.
(1) 完成下列表格，并用五点法在下面的直角坐标系中画出f(x)在区间[0，2π]上的简图；
x 0 π 2π
f(x)
(2) 求不等式f(x)≤－－1，x∈[0，2π]的解集．
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
【活动方案】
背景引入：先画正弦函数的图象．由于sin (x±2π)＝sin x，这表明自变量每增加（减少）2π，正弦函数值将重复出现．利用这一特性，要研究y＝sin x，x∈R的图象， 从画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象开始．
思考1：如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1，0).在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，得点B的纵坐标y0＝sin x0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0，sin x0).
问题：画图略．
思考2：由诱导公式一可知，函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状完全一致．因此将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
思考3：在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，以下五个点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，在确定图象形状时起关键作用．
思考4：对于函数y＝cos x，由诱导公式cos x＝sin ，得y＝cos x＝sin ，x∈R.而函数y＝sin ，x∈R的图象可以通过正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得到，所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象．
思考5：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
例　(1) 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1＋sin x 1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
(2) 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－cos x －1 0 1 0 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
跟踪训练　(1) 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
(2) 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
＋sin x －
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
思考6：能．以函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移1个单位长度，所得图象即为函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象．
以函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象为基础，作出它关于x轴对称的图象，所得图象即为函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的图象．
【检测反馈】
1. B　画出y＝－cos x，x∈（0，2π]的图象如图所示. 由图可知，与y轴最近的最高点的坐标为(π，1).
2. D　因为y＝sin (－x)与y＝sin x的图象关于 x轴对称，所以D符合题意．
3. BCD　对于A，余弦函数y＝cos x的图象，是将区间[0，2π]内的图象向左、向右无限“重复”得到，是“重复”不是延展，因为延展可能是拉伸，不符合，故A错误；对于B，正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，会与y＝cos x的图象重合，故B正确；对于C，当x＝kπ＋(k∈Z)时，y＝cos x＝0，故余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点，故C正确；对于D，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称，故D正确．故选BCD.
4. 0或2　令y＝sin x＋1，在x∈[－π，π]上，取五个关键点，列表如下：
x －π － 0 π
y 1 0 1 2 1
作出其图象如图所示. 因为满足a＝sin x＋1，且x∈[－π，π]的x的值只有一个，所以直线y＝a与函数y＝sin x＋1的图象在x∈[－π，π]上只有1个交点，结合图象可知，a＝0或a＝2.
5. (1) 由函数f(x)＝2cos x－1，可完成表格如下：
x 0 π 2π
f(x) 1 －1 －3 －1 1
得f(x)在区间[0，2π]的大致图象如下．
(2) 由f(x)≤－－1，
得2cos x－1≤－－1，即cos x≤－，
当x∈[0，2π]时，由cos x≤－，得x∈，
所以原不等式的解集为.