5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)
1. 经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义．
2. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
活动一 推导两角差的余弦公式
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？本节开始研究这个问题．
思考1
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α－β的余弦吗？
　
两角差的余弦公式
差角的余弦公式 cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　　　　　简记为C(α－β)
适用条件 公式中的角α，β都是任意角
公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
思考2
你能利用差角的余弦公式求cos 15°的值吗？
例1　利用公式C(α－β)证明：
(1) cos ＝sin α；
(2) cos (π－α)＝－cos α.
活动二　给角求值问题
例2　(1) cos 的值为(　　)
A. 　　　　　 B.
C. 　　　　　 D. －
(2) 求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°.
化简下列各式：
(1) cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)·sin (θ－24°)；
(2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1) 把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2) 在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
活动三　给值（式）求值问题　
例3　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值．
思考3
若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
思考4
利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值．
　
给值求值的解题思路：
(1) 利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．
(2) 常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝－等．
活动四 给值求角问题
例4　已知sin (π－α)＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
　
“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1) 求角的某一三角函数值；
(2) 确定角所在的范围（找一个单调区间）；
(3) 确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
1. cos 等于(　　)
A. B. C. － D. －
2. （2024太原月考）cos 77°cos 32°＋cos 13°sin 32°等于(　　)
A. B. － C. D. －
3. （多选）（2024辽宁实验中学期中）若α∈[0，2π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值是(　　)
A. B. C. D.
4. （2024南昌月考）已知cos ＝－，－<θ<，则cos θ＝　　　　．
5. 已知cos α＝，α∈.
(1) 求cos 的值；
(2) 若sin (α＋β)＝－，β∈，求β的值．
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)
1. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
2. 会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．
3. 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
活动一 推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式
思考1
由公式C(α－β)出发，你能推导出两角和的余弦公式吗？
思考2
你能根据公式C(α＋β)，C(α－β)及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin (α＋β)， sin (α－β)的公式吗？
思考3
你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从公式C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan (α＋β)， tan (α－β)的公式吗？
1.两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦 C(α－β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦 C(α＋β) cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
2. 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
3. 两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α＋β) tan (α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) ，且tan α·tan β≠1
两角差的正切 T(α－β) tan (α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，且tan α·tan β≠－1
4. 公式 S(α＋β) ，C(α＋β) ，T(α＋β)都叫做和角公式；公式S(α－β) ，C(α－β) ，T(α－β)都叫做差角公式．
活动二　两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用　
例1　已知sin α＝－，α是第四象限角，求sin ，cos ，tan 的值．
思考4
由以上解答可以看出，在本题条件下有sin ＝cos ，那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
(1) 已知tan ＝，则tan α＝　　　　；
(2) 已知锐角α，β满足cos α＝，sin (α－β)＝－，则sin β＝　　　　．
三角公式的应用策略：
(1) 使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2) 使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
活动三　两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用　
例2　利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1) sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
(2) cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
(3) .
计算下列各式的值：
(1) cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°；
(2) sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(3) sin (54°－x)cos (36°＋x)＋cos (54°－x)sin (36°＋x)；
(4) .
本例体现了对公式的全面理解，要求我们能够从正、反两个角度使用公式．与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解．
活动四　两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用　
例3　已知α，β为锐角，cos α＝，sin (α－β)＝.
(1) 求tan (2α－β)的值；
(2) 求角β的大小．
已知tan α＝，sin β＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
给值求角问题的步骤及选取函数的原则：
(1) 给值求角问题的步骤：
①求所求角的某个三角函数值；
②确定所求角的范围（范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角．
(2) 选取函数的原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是（－，），选正弦较好．
1. （2024台州期末）已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，则tan 2α的值为(　　)
A. B. － C. D. －
2. （2025铜陵期末）已知α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β的值为(　　)
A. B. C. D.
3. （多选）（2024浙江期中）已知α，β∈R，则下列等式中成立的是(　　)
A. cos (α＋β)·cos (α－β)＝cos 2α－cos 2β
B. cos (α＋β)·cos (α－β)＝cos 2α－sin 2β
C. sin (α＋β)·sin (α－β)＝cos 2α－sin 2β
D. sin (α＋β)·sin (α－β)＝sin 2α－sin 2β
4. （2025福州期末）已知sin α＝－，α∈，若sin (α＋β)＝2cos β，则tan (α＋β)＝　　　　．
5. 已知△ABC为斜三角形．
(1) 证明：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C；
(2) 若sin A＋cos A＝，求tan A的值．
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)
1. 能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2. 能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．
3. 熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．
活动一 推导二倍角的正弦、余弦、正切公式
思考1
你能利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式吗？
思考2
如果要求二倍角的余弦公式(C2α)中仅含α的正弦（余弦），那么还能得到什么？
思考3
T2α对任意角α都成立吗？
思考4
倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？
1. 二倍角公式
记法 公式 推导
S2α sin 2α＝2sin αcos α S(α＋β)S2α
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C2α
cos2α＝1－2sin2α cos2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1消去sin2α或cos2α
T2α tan2α＝ T(α＋β)T2α
2.二倍角公式的变形
(1) 升幂公式：
1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：
cos2α＝；
sin2α＝.
活动二　倍角公式的简单应用　
例1　已知sin 2α＝，＜α＜，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈.
(1) 求sin 2α的值；
(2) 求cos (2α＋β)的值．
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式：
对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角，6α是3α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是 的二倍角，是的二倍角，是的二倍角，….又如α＝2·，＝2·，….
活动三　逆用倍角公式化简求值　
例2　化简：.
求下列各式的值：
(1)sin sin ；
(2) cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；
(4).
1.三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
2. 解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值；是不是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化．要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．
活动四　活用“倍角”关系巧解题　
思考5
已知cos 的值，如何求sin 2x的值？
思考6
当题设条件中含有“±x”及“2x”这样的角时，如何快速解题？
例3　已知sin ＝，0＜x＜，求的值．
已知sin sin ＝，且α∈，求tan 4α的值．
当遇到±x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论关联起来．cos 2x＝sin ＝2sin cos （－x）.类似这样的变换还有：
(1) cos 2x＝sin ＝2sin （＋x）cos （＋x）；
(2) sin 2x＝cos ＝2cos2（－x）－1；
(3)sin 2x＝－cos ＝1－2cos2.
活动五　在三角形的背景下三角公式的应用　
例4　在△ABC中，cosA＝，tan B＝2，求tan (2A＋2B)的值．
在△ABC中，已知cos 2C＝－，则sin C的值为　　　　．
例题中的两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A＋B＋C＝π，0本例也可以改为求－tan 2C的值，在三角形中，根据诱导公式，－tan 2C＝tan (2A＋2B).
1. （2025广东期末）已知cos α＝，则cos 2α的值为(　　)
A. 1 B. 0 C. － D. －
2. 若sin x＝，则cos 2x的值为(　　)
A. B. － C. D. －
3. （多选）（2024南京期中）下列选项中，值为的有(　　)
A. sin 75°sin 15° B. sin 18°sin 54°
C. D.
4. （2025茂名期末）已知sin －cos ＝－，则sin α＝　　　　．
5. 利用二倍角公式求下列各式的值：
(1) sin 15°cos 15°；
(2) 2cos275°－1；
(3)1－sin215°；
(4).
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(4)
1.熟练掌握两角和与差的三角公式、倍角公式及其变形公式.
2. 灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明．
活动一 三角公式的基本应用
例1　已知cos ＝，x∈.
(1) 求sin x的值；
(2) 求cos 的值．
若tan ＝－，则sin αcos α＝　　　　．
三角函数公式的应用策略：
(1) 使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2) 使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
活动二　三角公式的逆用与变形　
例2　(1) tan 67°－tan 22°－tan 67°·tan 22°＝　　　　；　
(2) ＝　　　　．
已知cos ＋sin α＝，则sin ＝　　　　．
1. 三角函数公式活用技巧：
(1) 逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2) tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan (α＋β)（或tan (α－β)）三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
2. 三角函数公式逆用和变形用应注意的问题：
(1) 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2) 注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
活动三 利用角的变换进行求值
例3　已知cos α＝，α∈(0，π)，tan (α－β)＝，求tan β及tan (2α－β)的值．
已知cos ＝，≤α＜，求cos （2α＋）的值．
1. 利用角的变换求三角函数值的策略：
(1) 当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2) 当“已知角”有一个时，此时应着重于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2. 角变换的几个注意点：
明确各个角之间的关系（包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角），熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．
活动四　化简证明问题　
例4　(1) 化简：＋＝　　　　；
(2) 证明：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A cos 2B.
证明：＋＝4.
证明三角恒等式的原则与步骤：
(1) 观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2) 证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
1. （2025楚雄期末）若sin θ＝2cos θ，则的值为(　　)
A. － B. － C. D.
2. 已知sin ＝，则sin 的值为(　　)
A. － B. C. D. －
3. （多选）（2025通辽期末）下列等式中，成立的有(　　)
A. tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝
B. cos 15°－sin 15°＝
C. cos 2－sin 2＝
D. －＝4
4. 已知α∈（，π），cos 2α＝－，则sin （α＋）＝　　　　．
5. 已知α是钝角，β是锐角，cos ＝，sin (α＋β)＝.
(1) 求sin 2α的值；
(2) 求sin 的值．
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)
【活动方案】
思考1：不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z.
如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)，P(cos （α－β)，sin (α－β)）.
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1.
根据两点间的距离公式，
得[cos (α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cos β)2＋(sin α－sin β)2，
化简得cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，易证明上式仍然成立，
所以对于任意角α，β有cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
思考2：方法一：cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
方法二：cos 15°＝cos (60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.
例1 (1) cos ＝cos cos α＋sin sin α＝0＋1×sin α＝sin α.
(2) cos (π－α)＝cos πcos α＋sin πsin α＝(－1)×cos α＋0＝－cos α.
例2 (1) D　cos ＝cos ＝－cos ＝－cos ＝－cos cos －sin sin ＝－×－×＝－.
(2) ①原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin (180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝.
②原式＝sin (90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos (90°－14°)＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°＝cos (44°－14°)＝cos 30°＝.
跟踪训练　(1) 原式＝cos [(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝.
(2) 原式＝－sin (180°－13°)sin (180°＋43°)＋sin (180°＋77°)sin (360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos (13°－43°)＝cos (－30°)＝.
例3 由sin α＝，α∈，
得cos α＝－＝－＝－.
由cosβ＝－，β是第三象限角，
得sin β＝－＝－＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
思考3：cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)·sin β.
思考4：cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β).
跟踪训练　因为α，β∈，所以0<α＋β<π.
由cos (α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝.
例4 因为sin (π－α)＝，所以sin α＝.
因为0＜α＜，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，
所以sin (α－β)＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.
因为0＜β＜，所以β＝.
跟踪训练　因为α，β均为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又sin α所以－<α－β<0，故α－β＝－.
【检测反馈】
1. A　cos ＝cos ＝×＋×＝.
2. C　cos 77°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝cos 77°cos 32°＋sin 77°sin 32°＝cos (77°－32°)＝cos 45°＝.
3. CD　因为α∈[0，2π]，且sin sin ＋cos cos ＝cos α＝0，所以α＝或α＝.故选CD.
4. 　由－<θ<，得0<θ＋<π.又cos ＝－，所以sin ＝，所以cos θ＝cos ＝cos cos ＋sin （θ＋）·sin ＝×＋×＝.
5. (1)由sin2α＋cos2α＝1，cosα＝，α∈，得sin α＝－，
所以cos ＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝－，
即cos 的值为－.
(2)由α∈，β∈，
得α＋β∈.
因为sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，sin(α＋β)＝－，
所以cos (α＋β)＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝.
又β∈，所以β＝.
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)
【活动方案】
思考1：因为α＋β＝α－(－β)，则由公式C(α－β)，有cos (α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos αcos (－β)＋sin αsin (－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
于是得到了两角和的余弦公式，简记为C(α＋β).
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C（α＋β)）
思考2：sin (α＋β)＝cos ＝cos [（－α）－β]＝cos cos β＋sin sin β＝sin αcos β＋cos αsin β，
即sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S（α＋β)）
sin(α－β)＝sin [α＋(－β)]＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
即sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S（α－β)）
思考3：tan (α＋β)＝
＝
＝
＝.(T（α＋β)）
tan (α－β)＝＝.(T（α－β)）
例1 由sin α＝－，α是第四象限角，得cos α＝＝＝，
所以tanα＝＝＝－，
则sin ＝sin cos α－cos sin α＝×－×＝，
cos ＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝，
tan ＝＝＝＝－7.
思考4：对于任意角α，等式sin ＝cos （＋α）成立．
方法一：因为sin ＝sin cos α－cos sin α＝cos α－sin α，
cos ＝cos cos α－sin sin α＝cos α－sin α，所以sin ＝cos .
方法二：sin ＝sin ＝cos .
方法三：cos ＝cos ＝sin .
跟踪训练　(1) 　因为tan ＝tan （α－）＝，所以＝，解得tan α＝.
(2) 　因为α，β是锐角，所以－＜α－β＜.因为sin (α－β)＝－＜0，所以cos (α－β)＝.因为cos α＝，所以sin α＝，所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×＋×＝.
例2 　(1) 原式＝sin (72°－42°)＝sin 30°＝.
(2) 原式＝cos (20°＋70°)＝cos 90°＝0.
(3) 原式＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝.
跟踪训练　(1) 原式＝sin (14°－44°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－.
(2) 原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin (14°＋16°)＝sin 30°＝.
(3) 原式＝sin [(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
(4) 原式＝＝tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.
例3 　(1) 因为α为锐角，cos α＝，
所以sin α＝＝，
所以tanα＝＝4.
因为α，β为锐角，所以－＜α－β＜，
又sin (α－β)＝，
所以cos (α－β)＝＝，
所以tan(α－β)＝＝，
所以tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝－.
(2) 由(1)知，
sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝.
因为β为锐角，所以β＝.
跟踪训练　因为tan α＝<1，且α为锐角，
所以0<α<.
又因为sin β＝<＝，且β为锐角，
所以0<β<，所以0<α＋2β<.①
由sin β＝，β为锐角，得cos β＝，
所以tan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝＝，
所以tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝1.②
由①②可得α＋2β＝.
【检测反馈】
1. A　因为tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝.
2. D　因为α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝＝，sin (α＋β)＝＝，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.
3. BD　对于A，B，cos (α＋β)·cos (α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝cos2αcos2β－sin2αsin2β＝cos2α(1－sin 2β)－sin 2αsin 2β＝cos 2α－cos 2αsin 2β－sin 2αsin 2β＝cos 2α－sin 2β(cos 2α＋sin 2α)＝cos 2α－sin 2β，故A错误，B正确；对于C，D，sin (α＋β)·sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－cos 2αsin 2β＝sin 2α－sin 2αsin 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α－sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－sin 2β，故C错误，D正确．故选BD.
4. 　由sin α＝－，α∈，得cos α＝＝，所以sin (α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)－sin (α＋β)，即13sin (α＋β)＝6cos (α＋β)，所以tan (α＋β)＝.
5. (1) 因为A＋B＝π－C，
所以tan (A＋B)＝－tan C.
因为C≠，所以tan A tan B≠1，
所以tan (A＋B)＝＝－tan C，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.
(2) 因为sin A＋cos A＝，
所以sin2A＋cos2A＋2sinA cos A＝，
则sin A cos A＝－.
又00，cos A<0，
所以sin A－cos A＝＝，
则sin A＝，cos A＝，
所以tan A＝＝－.
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)
【活动方案】
思考1：对于公式sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，
tan (α＋β)＝，
令β＝α，
得sin 2α＝2sin αcos α，(S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α，(C2α)
tan2α＝.(T2α)
思考2：cos2α＝1－2sin2α，cos2α＝2cos2α－1.
思考3：不是，所含各角要使正切函数有意义．
思考4：倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍.这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
例1　由＜α＜，得＜2α＜π.
又因为sin 2α＝，所以cos 2α＝－＝－＝－，
所以sin4α＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－，
cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝，
tan4α＝＝＝－.
跟踪训练　(1) 因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
(2) 因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－.
又因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－.
例2　原式＝＝＝＝1.
跟踪训练　(1) 因为sin ＝sin ＝cos ，
所以原式＝sin cos ＝·2sin cos ＝sin ＝.
(2) 因为cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
所以原式＝cos215°－sin215°＝cos30°＝.
(3) 原式＝cos ＝－.
(4) 原式＝×＝tan60°＝.
思考5：sin 2x＝cos ＝2cos2（－x）－1.
思考6：可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．
例3　因为＋＝，
所以sin ＝cos ＝.
又0＜x＜，所以＜x＋＜，
所以sin ＝，
所以＝＝＝2sin ＝.
跟踪训练　因为sin ＝sin ＝cos ，
所以sin cos ＝，
即sin ＝，
所以sin ＝，即cos 2α＝.
因为α∈，所以2α∈(π，2π)，
所以sin 2α＝－＝－，
则tan2α＝＝－2，
故tan 4α＝＝－＝.
例4　方法一：在△ABC中，由cos A＝，0所以tanA＝＝，
则tan 2A＝＝＝.
又tanB＝2，所以tan 2B＝＝＝－，
所以tan(2A＋2B)＝＝＝.
方法二：在△ABC中，由cos A＝，0所以tanA＝＝.
又tan B＝2，所以tan (A＋B)＝＝＝－，
所以tan (2A＋2B)＝tan [2(A＋B)]＝＝＝.
跟踪训练　　因为cos2C＝1－2sin2C＝－，且0【检测反馈】
1. D　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.
2. D　因为sin x＝，所以cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×（）2＝－.
3. ABD　对于A，sin 75°sin 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A正确；对于B，sin 18°sin 54°＝＝＝＝＝，故B正确；对于C，＝＝＝＝，故C错误；对于D，因为tan 45°＝＝1，所以＝，故D正确．故选ABD.
4. 　由sin －cos ＝－，可得（sin －cos ）2＝1－2sin cos ＝1－sin α＝，所以sin α＝.
5. (1) sin 15°cos 15°＝(2sin 15°cos 15°)＝sin 30°＝.
(2) 2cos275°－1＝cos150°＝－.
(3) 1－sin215°＝(2cos215°－1)＋＝cos 30°＋＝.
(4) ＝tan150°＝－tan 30°＝－.
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(4)
【活动方案】
例1 (1) 因为x∈，所以x－∈（，），
sin ＝，
所以sin x＝sin ＝sin ·cos ＋cos sin ＝×＋×＝.
(2) 因为x∈，所以cos x＝－＝－＝－，
则sin2x＝2sin x cos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－，
所以cos＝cos 2x cos －sin 2x sin ＝－×＋×＝.
跟踪训练　　因为tan ＝－，所以tan α＝tan ＝＝＝，所以sin αcos α＝＝＝＝.
例2　(1) 1　因为tan 67°－tan 22°＝tan (67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°，所以tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°·tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.
(2) －4　原式＝＝＝＝＝－4.
跟踪训练　－　由cos ＋sin α＝，可得cos α＋sin α＝，所以sin （α＋）＝，则sin （α＋）＝，所以 sin ＝－sin （α＋）＝－.
例3 因为cos α＝>0，α∈(0，π)，
所以sin α＝＝＝，
所以tanα＝＝，
所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝，
tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝2.
跟踪训练　因为≤α＜，所以≤α＋＜.
因为cos ＞0，所以＜α＋＜，
所以sin ＝－＝－，
所以cos 2α＝sin ＝2sin cos （α＋）＝2××＝－，
sin 2α＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×＝，
所以cos＝×－×＝－.
例4 (1) －tan 2θ　原式＝＝＝－＝－tan2θ.
(2) 左边＝－＝＝(cos 2A cos 2B－sin 2A sin 2B＋cos 2A cos 2B＋sin 2A sin 2B)
＝cos 2A cos 2B＝右边，
所以原等式成立．
跟踪训练　左边＝
＝
＝＝＝4＝右边，
所以原等式成立．
【检测反馈】
1. B　由sin θ＝2cos θ，可得tan θ＝2，所以＝＝＝＝－.
2. A　由题意可得sin ＝－cos ＝－[1－2sin2（α＋）]＝－1＋2×＝－.
3. AD　对于A，因为tan 60°＝tan (35°＋25°)＝＝，所以tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝，故A正确；对于B，cos 15°－sin 15°＝cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°＝cos 60°＝，故B错误；对于C，cos 2－sin 2＝cos ＝，故C错误；对于D，－＝＝＝＝4，故D正确．故选AD.
4. －　因为α∈，所以cos α<0.由cos 2α＝2cos2α－1＝－，得cosα＝－，则sin ＝cos α＝－.
5. (1) sin 2α＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.
(2)因为α是钝角，β是锐角，sin (α＋β)＝，cos （α－）＝，
所以<α<π，0<β<，<α＋β<π，<α－<，
所以cos (α＋β)＝－＝－，
sin＝＝，
所以sin＝sin ＝sin (α＋β)cos －cos (α＋β)sin ＝×－×＝.