5.6.1　匀速圆周运动的数学模型 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
1. 结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，会用“五点法”画出函数y＝A sin (ωx＋φ)的简图．
2. 能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
活动一 匀速圆周运动的数学模型
问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图1）.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图2）.
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
图1 图2
　　
思考1
与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？
例1　如图，摩天轮的半径r为40 m，圆心O距地面的高度为48 m，摩天轮做逆时针匀速转动，每 30 min 转一圈．摩天轮上点P的起始位置在最低点处．如何确定在时刻t（单位：min）时，点P距离地面的高度H？
活动二　掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)简图的作法，理解y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象的关系　
思考2
(1) 写出用“五点法”作y＝sin x的图象的五个关键的点；
(2) 在同一坐标系中观察y＝cos x的图象和 y＝sin x的图象，思考y＝cos x的图象如何由y＝sin x的图象平移得到？
思考3
作出函数y＝sin 和y＝sin x的图象，并找出两图象之间的关系．
思考4
函数y＝sin 的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？
例2　若y＝f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到y＝sin 的图象，则f(x)＝　　　　　　．
函数y＝sin (x＋φ)的图象可以看作是将函数 y＝sin x的图象上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移|φ|个单位长度而得到的．
思考5
作出函数y＝sin 2x和y＝sin x的图象，并找出两图象之间的关系．
思考6
函数y＝sin x的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？
函数y＝sin ωx（ω＞0且ω≠1）的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）而得到的．
思考7
作出函数y＝sin 和y＝sin 2x的图象，并找出两图象之间的关系．
思考8
作出函数y＝3sin x和y＝sin x的图象，并找出两图象之间的关系．
思考9
函数y＝sin x的图象与函数y＝sin x的图象有什么关系？
函数y＝A sin x（A＞0且A≠1）的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）而得到的．
思考10
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sin ωx的图象经过怎样的图象变换而得到？可由函数y＝sin (x＋φ)的图象经过怎样的图象变换而得到？
例3　将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，再将各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为_________________________．
思考11
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sin x经过哪些图象变换而得到？写出图象变换的顺序．
活动三　掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的简单应用　
例4　(1) 不用计算机和图形计算器，画出函数y＝3sin 的简图；
(2) 根据函数的简图，写出(1)中函数的减区间．
作出函数y＝2sin 在长度为一个周期的闭区间上的图象．
1. （2024济宁期中）为了得到函数y＝2sin 的图象，只需将函数y＝2sin 2x的图象上所有的点(　　)
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
2. 将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为(　　)
A. y＝sin 2x B. y＝sin 2x＋2
C. y＝cos 2x D. y＝cos
3. （多选）（2024汕头月考）下列四种变换方式中，能将函数y＝cos x的图象变为函数y＝cos 的图象的是(　　)
A. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B. 向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D. 每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
4. （2024孝感方子高级中学月考）简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞）表示，其中A>0，ω>0，则初相为　　　　Ｗ．
5. 将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象．
(1) 求y＝f(x)的解析式；
(2) 用“五点法”作出函数y＝f(x)在一个周期内的函数图象．
　　
5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
【活动方案】
背景引入：因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律．
思考1：设筒车转轮的中心O到水面的距离为h，筒车的半径为r，筒车转动的角速度为ω，盛水筒的初始位置为P0以及所经过的时间为t.
如图，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系．设t＝0时，盛水筒M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x，y)，所以以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有y＝r sin (ωt＋φ)，①
所以盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是H＝r sin (ωt＋φ)＋h.②
例1 取O为坐标原点，水平线为x轴，建立平面直角坐标系．
设P(x，y)，则点P距离地面的高度H＝y＋48.
又＝sin α，其中r＝40，α为在时刻t min时点P所对应的角，则α＝t＋φ.
又t＝0时，P位于最低点，所以φ＝－，
则α＝t－，
所以y＝40sin ，H＝40sin （t－）＋48.
思考2：(1) (0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2) 将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得到y＝cos x的图象．
思考3：
y＝sin 的图象是由y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到的．
思考4：y＝sin 的图象是由y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的．
例2 sin
思考5：
y＝sin xy＝sin 2x.
思考6： y＝sin xy＝sin x.
思考7：
y＝sin 2xy＝sin （2x＋）.
思考8：
y＝sin xy＝3sin x.
思考9： y＝sin x y＝sin x.
思考10：函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象可以看作是将函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移||个单位长度，纵坐标变为原来的A倍而得到的．
可以看作是将函数y＝sin (x＋φ)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的A倍而得到的．
例3 y＝2sin 2x　将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度得函数y＝sin [2（x－）＋]＝sin 2x的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝2sin 2x的图象.
思考11：方法一：y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ).
方法二：y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ).
例4 (1) 方法一：先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：
2x－ 0 π 2π
x
y 0 3 0 －3 0
描点画图，然后由周期性，通过向左、右平移（每次π个单位长度）得出整个图象，如图．
方法二：y＝sin xy＝sin 2xy＝sin y＝3sin .
方法三：y＝sin xy＝sin y＝sin
y＝3sin .
(2) 由函数的图象可知函数y＝3sin 的减区间是(k∈Z).
跟踪训练　列表：
＋ 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
描点作图，如图所示：
【检测反馈】
1. C　因为y＝2sin ＝2sin ，所以将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin 的图象.
2. A　将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝cos ＋1＝sin 2x＋1的图象，再向下平移1个单位长度所得函数图象的解析式为y＝sin 2x.
3. AC　由题意，得y＝cos ＝cos .对于A，将函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos 的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到y＝cos 的图象，故A正确；对于B，将函数y＝cos x的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos 的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝cos 的图象，故B错误；对于C，将函数y＝cos x的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到y＝cos 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到y＝cos 的图象，故C正确；对于D，将函数y＝cos x的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝cos x的图象，再向左平移个单位长度，得到y＝cos 的图象，故D错误．故选AC.
4. φ　由定义，得初相为φ.
5. (1) 由题意，得f(x)＝sin [2]＝sin .
(2) 列表：
2x－ 0 π 2π
x
f(x) 0 1 0 －1 0
描点连线，作出函数f(x)在一个周期内的函数图象，如图．