第二章　一元二次函数、方程和不等式 本章复习 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 本 章 复 习
1. 通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最值问题．
2. 用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性．
3. 学会将实际问题转化为数学问题来处理，利用不等式的有关方法来解决问题．
活动一 知识梳理
1. 知识结构框图：
2. 不等式的基本性质：
性质1　如果a>b，那么bb，即a>b b性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c a>c.
性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).
3. 基本不等式：≤(a，b>0).
4. 若a，b∈R，则ab≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
若a>0，b>0，则≤ ≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
5. 三个“二次”之间的关系：
6. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系：
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
7. 利用不等式解决实际问题需注意以下四点：
(1) 阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．
(2) 建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
(3) 讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．
(4) 作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．
活动二 不等式的基本性质
例1　若0A. a1b1＋a2b2　　　　B. a1a2＋b1b2　　　　C. a1b2＋a2b1　　　　D.
活动三 基本不等式及其应用
例2　(1) 设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，求x2＋y2的最小值；
(2) 已知正数x，y满足＋＝1，求＋的最小值．
已知x，y为正实数，则＋的最大值为________．
研究双变元分式函数的最值问题通常可以从两个角度加以解决，一是转化为分式的分子、分母的乘积为定值的情形，利用基本不等式来求最值；二是通过变形，将两个变元合并为一个变元，转化为单变元的函数来研究．
活动四　掌握三个“二次”的应用　
例3　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且不等式y＞－2x的解集为{x|1(1) 若方程y＋6a＝0有两个相等的实数根，求二次函数的解析式；
(2) 若二次函数的最大值为正数，求实数a的取值范围．
已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1) 求实数a，b的值；
(2) 解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
例4　已知二次函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若不等式y已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a成立，求实数a的取值范围．
活动五 不等式的实际应用
例5　在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(单位：m)与车速v(单位：km/h)需遵循的关系是d≥av2(其中a是车身长，a为常量)，同时规定d≥.
(1) 当d＝时，求机动车速度的变化范围；
(2) 设机动车每小时流量Q＝，应规定怎样的车速，可以使每小时的机动车流量Q最大？
1. (2025房山期末)已知a，b，c∈R，且aA. a－cC. < D. a＋b>2
2. 已知a，b为正实数且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A. B. ＋1 C. D. 3
3. (多选)(2024株洲期中)下列不等式的解集为R的是(　　)
A. x2＋6x＋11>0 B. x2－3x－3<0
C. －x2＋x－2<0 D. x2＋2x＋5≥0
4. (2025上海虹口期末)不等式≤0的解集为________．
5. 已知函数f(x)＝x2－(a＋b)x＋a.
(1) 若关于x的不等式f(x)<0的解集为(1，2)，求实数a，b的值；
(2) 当b＝1时，解关于x的不等式f(x)>0.
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【活动方案】
例1 A　方法一：特殊值法．令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝.因为>>，所以最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二：作差法．因为a1＋a2＝1＝b1＋b2且0a1，b2＝1－b1>b1，所以00，所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.因为(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)(b1－)＝2(a1－)(b1－)>0，所以a1b1＋a2b2>.综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
例2 (1) 由x2＋2xy－1＝0，得y＝，
所以x2＋y2＝x2＋()2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时，等号成立，
所以x2＋y2的最小值为.
(2) 因为＝1－，
所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋9(x－1).
又因为＝1－>0，所以x>1，同理y>1，
所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25，当且仅当x＝时，等号成立，所以＋的最小值为25.
跟踪训练　　方法一：令a＝4x＋y，b＝x＋y(a，b>0)，则x＝，y＝，故＋＝＋＝－(＋)≤－2＝，当且仅当a＝2b，即y＝2x时，等号成立．
方法二：令t＝>0，则＋＝＋＝＋＝1－＋＝1＋＝1＋≤1＋＝，当且仅当4t＝，即t＝，y＝2x时，等号成立．
例3 因为y＋2x>0的解集为{x|1所以y＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
所以y＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
(1) 由方程y＋6a＝0，
得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
因为方程②有两个相等的实数根，
所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.
因为a<0，所以a＝－，
代入①，得y＝－x2－x－.
(2) 由y＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－)2－，且a<0，可得y的最大值为－.
由解得a<－2－或－2＋跟踪训练　(1) 因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a>0，b＞1.
由根与系数的关系，得解得
(2) 不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为 .
综上，当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为 .
例4 因为二次函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，所以Δ＝a2－4b＝0.
因为y所以y－c＝0的解为x1＝m，x2＝m＋6，
则2m＋6＝－a，m(m＋6)＝b－c，
即a＝－2m－6，b＝m(m＋6)＋c.
又a2＝4b，所以(2m＋6)2＝4[m(m＋6)＋c]，
解得c＝9，即实数c的值为9.
跟踪训练　由题意，得对于一切实数x，x2＋ax＋3≥a恒成立，
即对于一切实数x，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2，
故实数a的取值范围是－6≤a≤2.
例5 (1) 由题意知≥av2，
所以－25≤v≤25，
由题意知v＞0，所以当d＝时，0＜v≤25.
(2) 当0＜v≤25时，Q＝，Q是v的正比例函数，所以当v＝25时，Qmax＝；
当v＞25时，Q≤＝≤，当且仅当＝，即当v＝50时，等号成立，Qmax＝.
＞，
故当v＝50时，每小时的机动车流量Q最大，Qmax＝.
【检测反馈】
1. C　对于A，令a＝，b＝，c＝ ，则a－c＝0，b－1＝－，所以a－c>b－1，故A错误；对于B，令a＝－2，b＝－1，c＝，则ac＝－1＝b，故B错误；对于C，因为a0，>0，所以a·2. D　因为a，b为正实数且a＋b＝2，所以b＝2－a，所以＋＝＋＝＋－1＝2(＋)－1＝(a＋b)(＋)－1＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最小值为3.
3. ACD　对于A，易知方程x2＋6x＋11＝0的判别式Δ＝62－4×11<0，所以对应的二次函数图象在x轴上方，所以解集为R，故A正确；对于B，易知方程x2－3x－3＝0的判别式Δ＝32＋4×3>0，由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，故B错误；对于C，易知方程－x2＋x－2＝0的判别式Δ＝12－4×2<0，所以对应的二次函数图象在x轴下方，所以解集为R，故C正确；对于D，易知不等式x2＋2x＋5≥0可化为(x＋)2≥0，显然该不等式恒成立，即解集为R，故D正确．故选ACD.
4. {x|05. (1) 由f(x)<0，得x2－(a＋b)x＋a<0.
因为该不等式的解集为(1，2)，
所以方程x2－(a＋b)x＋a＝0的两根为1和2，
由根与系数的关系，得
解得a＝2，b＝1.
(2) 当b＝1时，由f(x)>0，得x2－(a＋1)x＋a>0，
即(x－a)(x－1)>0.
当a＞1时，解该不等式可得x＜1或x＞a；
当a＝1时，解该不等式可得x≠1；
当a＜1时，解该不等式可得x＜a或x＞1.
综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．