第三章 函数的概念与性质 本章复习 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

第三章　函数的概念与性质 本 章 复 习
1. 理解函数的概念，能用代数运算和函数图象揭示函数的单调性、最大值、最小值、奇偶性等．
2. 会判断函数的单调性和奇偶性，并能综合运用其解决简单的问题.
3. 了解幂函数的概念，掌握五种幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1的图象特点及其性质，并会应用.
4. 在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.
活动一 构建知识网络
活动二 探究求定义域的方法
例1　(1) 求y＝＋的定义域；
(2) 已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1，1)，求函数y＝f(x)的定义域．
1. 函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示．
2. 求函数定义域的方法，主要有如下三种：
(1) 已知函数解析式求函数定义域，只需使函数有意义即可．
(2) 没有具体解析式时，根据已知函数定义域求解，即视为整体来求解．
(3) 应用题当中，需满足问题所包含的实际意义．
特别提示：求定义域时要使每个式子都有意义，所以通常取交集.
活动三 探究求值域的常用方法
例2　(1) 求函数y＝－2x2＋4x＋6的值域；
(2) 求函数y＝2x＋4的值域；
(3) 求函数y＝的值域．
1. 函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应关系确定，常用集合或区间来表示．
2. 值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法：
(1) 二次函数型利用“配方法”．
(2) 换元法（注意换元后新元的取值范围）.
(3) 形如y＝(a，c≠0)的函数用分离常数法．
特别提示：关于“配方法”，若有定义域加以限制的，可画出图象，利用图象法解决．对于值域来说，定义域和对应关系相同，值域就一定相同，即为同一函数，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域和对应关系是否相同．
活动四 探究函数解析式求解的常用方法
例3　(1) 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求函数f(x)的解析式；
(2) 已知2f(x)＋f＝3x，x≠0，求函数f(x)的解析式；
(3) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x≠±1)，求f(x)，g(x)的解析式；
(4) 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
1. 换元法：将自变量如“＋1”换作另一个元素（字母）t，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于t的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的解析式，此法是求函数解析式时常用的方法．
2. 待定系数法： 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．
3. 方程消元法： 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的．
4. 化归法：利用奇偶性的定义求某个区间上的解析式，可利用化归的思想，转化到对应的已知解析式的区间上求解．
活动五 探究分段函数
例4　(1) 求函数f(x)＝的值域；
(2) 已知f(x)＝求f(5)的值；
(3) 已知函数f(x)＝作出此函数的图象；
(4) 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（单位：min）与相应话费y（单位：元）之间的函数图象如图所示．
①当月通话时间为50 min时，话费为多少元？
②求y与x之间的函数关系式.
1. 求分段函数的定义域、值域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
2. 求分段函数的函数值：求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，那么需要由里到外层层处理．
3. 画出分段函数的图象：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段函数图象自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．
4. 求分段函数的解析式：以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确的理解题目（或图象）给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．
活动六　探究函数图象的三种变换　
例5　设f(x)＝x2，在同一平面直角坐标系中画出：
(1) y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；
(2) y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．
(1) 设f(x)＝x＋1，在同一平面直角坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系；
(2) 设f(x)＝x＋1，在不同的平面直角坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数图象的关系；
(3) 设f(x)＝x＋1，在不同的平面直角坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．
1. 平移变换：观察图象得函数y＝f(x＋1)的图象可由函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；函数y＝f(x－1)的图象可由函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；函数y＝f(x)＋1的图象可由函数y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；函数y＝f(x)－1的图象可由函数y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．
2. 对称变换：函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
3. 翻折变换：通过观察两个函数图象可知，要得到函数y＝|f(x)|的图象，只需将函数y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变；要得到函数y＝f(|x|)的图象，先将函数y＝f(x)的图象在y轴左侧的部分去掉，然后将y轴右侧的图象翻折到左侧．
活动七 探究函数单调性的证明
例6　(1) 已知函数f(x)＝x＋，求证：函数f(x)在区间（0，1]上单调递减；
(2) 已知函数f(x)＝，求证：函数f(x)是增函数．
由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)－f(x2)符号的关键所在．
(1) 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(x1)－f(x2)的符号．
(2) 对于分式形式进行通分．
(3) 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1)－f(x2)符号的目的.
活动八 探究函数单调性、奇偶性的综合问题
例7　(1) 已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0，1]上单调递减，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是　　　　　　　；
(2) 若偶函数f(x)在区间[3，6]上单调递增，且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上的最大值为　　　　；
(3) 若函数f(x)是奇函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，又f(－2)＝0，则x·f(x)＜0的解集是　　　　　；
(4) 设定义在区间(－1，1)上的奇函数f(x)在区间[0，1）上单调递增，且有f(1－m)＋f＜0，求实数m的取值范围．
1. 比较大小：比较两个函数值的大小时，若两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．
2. 求函数最值：应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值．
3. 解不等式是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性．只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难解决问题．
4. 求参数的取值范围：通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题．
活动九 探究二次函数的有关问题
例8　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx满足f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
例9　已知二次函数f(x)＝ax2＋4ax＋a2－1在区间[－4，1]上的最大值为5，求实数a的值．
应用分类讨论思想的实质是：将整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件．在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论时要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．
活动十 函数的应用
例10　某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y（单位：元）与通话时间x（单位：min）之间的关系如图所示（实线部分）.（注：图中MN∥CD）
(1) 若通话时间为2 h，则按方案A，B各付话费多少元？
(2) 方案B从500 min以后，每分钟收费多少元？
(3) 通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
1. 对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2. 对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．
活动十一 幂函数的性质及应用
例11　已知幂函数f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{m|－21. 幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．
2. 幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3. 简单幂函数的性质：
(1) 所有幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1；
(2) 如果α>0，幂函数在区间[0，＋∞）上有意义，且单调递增；
(3) 如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在区间(0，＋∞)上单调递减．
1. （2024深圳期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数·min-1）与体重W（单位：kg）的 次方成反比．若A，B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2 kg、脉搏率为210次·min-1，B的脉搏率是70次·min-1，则B的体重为(　　)
A. 6 kg B. 8 kg C. 18 kg D. 54 kg
2. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，若 x∈[1，2]，恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围为(　　)
A. [－2，＋∞） B. [－2，＋∞） C. [2，＋∞） D. (2，＋∞)
3. （多选）（2025贵州黔东南期末）已知幂函数f(x)＝(a2－4a＋4)xa-2，则下列说法中正确的有(　　)
A. a＝1或a＝3 B. f(x)一定为奇函数
C. f(x)一定为减函数 D. f(x)的图象必过点(1，1)
4. （2025上海奉贤中学月考）已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为　　　　．
5. 已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1) 求实数m的值，判断函数f(x)在区间[0，＋∞）上的单调性；
(2) 求函数f(x)在区间[－3，2]上的最大值和最小值．
本 章 复 习
【活动方案】
例1 (1) 由题意，得解得x≥－2且x≠4，故所求定义域为[－2，4)∪(4，＋∞).
(2) 令t＝x＋1.因为－1＜x＜1，所以0＜t＜2，
所以f(t)的定义域为(0，2)，
即所求定义域为(0，2).
例2 (1) 由y＝－2(x－1)2＋8，得函数的值域为(－∞，8].
(2) 令t＝(t≥0)，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4，故所求值域为(－∞，4].
(3) y＝＝＝2＋.
因为≠0，所以y≠2，
所以值域为{y|y∈R且y≠2}．
例3 (1) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
所以解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
(2) 2f(x)＋f＝3x，①
用去换①中的x，得2f＋f(x)＝.②
由①②，得f(x)＝2x－，x≠0.
(3) 因为f(x)＋g(x)＝，①
所以f(－x)＋g(－x)＝.②
因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以②式可变为f(x)－g(x)＝.③
联立①③，解方程组得f(x)＝，
g(x)＝，
所以f(x)＝(x≠±1)，g(x)＝(x≠±1).
(4) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
又当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1＋x).
又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x(1＋x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
例4 (1) 当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，
所以y≥－4；
当x＞－2时，y＝，所以y＞＝－1，
所以函数f(x)的值域是{y|y≥－4}．
(2) f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.
(3)
(4) ①当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx.
因为y＝kx过点(100，40)，所以解析式为y＝x，
所以当月通话时间为50 min时，
话费为y＝×50＝20(元).
②当x＞100时，设函数解析式为y＝ax＋b.
由图可知，当x＝100时，y＝40；当x＝200时，y＝60，
所以解得
所以y＝x＋20.
故所求函数关系式为y＝　
例5 (1) y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象分别是由y＝f(x)的图象向左、向右平移1个单位长度得到的，图略．
(2) y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象分别是由y＝f(x)的图象向上、向下平移1个单位长度得到的，图略．
跟踪训练　(1) y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，图略．
(2) 只需将y＝f(x)的图象中x轴下方的图象翻折到x轴上方，其余部分不变，即可得到y＝|f(x)|的图象，图略．
(3) 先将y＝f(x)的图象在y轴左侧的部分去掉，再将y轴右侧的图象翻折到左侧，即可得到y＝f(|x|)的图象，图略．
例6 (1) 设x1，x2是区间(0，1]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.　
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，1]，
所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
故函数f(x)在区间(0，1]上单调递减．
(2) 设x1，x2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.　
因为x1＜x2，且x1，x2∈[1，＋∞)，
所以x1－x2＜0，＋＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故函数f(x)是增函数．
例7 (1) f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)　因为函数f(x)是偶函数，所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).因为f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0).
(2) 9　因为f(x)是偶函数，且在区间[3，6]上单调递增，所以f(x)在区间[－6，－3]上单调递减，所以f(x)在区间[－6，－3]上的最大值为f(－6)＝f(6)＝9.
(3) (－2，0)∪(0，2)　根据题意，画出草图．因为x·f(x)＜0，所以或结合图象，可知原不等式的解集为(－2，0)∪(0，2).
(4) 因为f(x)是奇函数，
所以由f(1－m)＋f<0，
得f(1－m)<－f，
即f(1－m)因为f(x)在区间[0，1)上单调递增，
所以f(x)在区间(－1，1)上单调递增，
所以解得所以实数m的取值范围是.
例8 (1) 因为 f(2)＝0，所以 4a＋2b＝0，即b＝－2a.
因为方程ax2＋bx＝x，即ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，
所以 Δ＝(b－1)2＝0，所以 b＝1，a＝－，
所以 f(x)＝－x2＋x.
(2) 由(1)知，f(x)max＝＝，
所以 2n≤，即n≤，所以 m因为 f(x)在区间上单调递增，
所以 f(m)＝2m，f(n)＝2n，
所以m，n为方程f(x)＝2x的两根，
所以－x2＋x＝2x，即－x2－x＝0，
解得x＝0或x＝－2，
所以 m＝－2，n＝0.
例9 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－2.
当a>0时，f(x)max＝f(1)＝5a＋a2－1＝5，
即a2＋5a－6＝0，
解得 a＝1或a＝－6(舍去)，所以a＝1；
当a<0时，
f(x)max＝f(－2)＝4a－8a＋a2－1＝5，
即 a2－4a－6＝0，
解得a＝2－或a＝2＋(舍去)，
所以a＝2－.
综上，实数a的值为1或2－.
例10 　由图可知M(60，98)，N(500，230)，C(500，168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝
fB(x)＝
(1) 易知，通话2h，两种方案的话费分别为116元，168元．
(2) 因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3(n>500)，
所以方案B从500 min以后，每分钟收费0.3元．
(3) 由图可知，当0≤x≤60时，fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x).
当60当60fA(x)；当≤x≤500时，fA(x)>fB(x).
故当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠．
例11 因为m∈{m|－2所以m的值为－1，0，1.
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；
当m＝1时，f(x)＝x0＝1，条件①②都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足，所以f(x)＝x3.
因为f(x)＝x3在区间[0，3]上单调递增，
所以当x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].
【检测反馈】
1. D　根据题意，设f＝(k≠0)，当W＝2时，f＝210，则k＝210×2，所以当f＝70时，W＝＝3×2，所以W＝54.
2. B　若 x∈[1，2]，恒有f(x)≥0，即 x∈[1，2]，x2＋ax＋3≥0恒成立，即 a≥－x－对任意x∈[1，2]恒成立．因为－x－＝－≤－2，当且仅当x＝时取等号，所以 a≥－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞).
3. ABD　对于A，根据幂函数的定义可得a2－4a＋4＝1，解得a＝1或a＝3，故A正确；对于B，当a＝1时，f(x)＝x-1为奇函数；当a＝3时，f(x)＝x为奇函数，故B正确；对于C，当a＝1时，f(x)＝x-1不是减函数；当a＝3时，f(x)＝x是增函数，故C错误；对于D，因为对任意α∈R都有1α＝1，所以幂函数均经过点(1，1)，故D正确. 故选ABD.
4. f(x)＝　由题意，得f(0)＝0，当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1，所以f(x)＝
5. (1)因为函数f(x)＝是R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即＝，
解得m＝0，所以f(x)＝，
故函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
又函数f(x)是R上的偶函数，
所以函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，
所以函数f(x)在区间[－3，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减．
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)min＝f(－3)＝，f(x)max＝f(0)＝1.