第四章 指数函数与对数函数 本章复习 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

第四章　指数函数与对数函数 本 章 复 习
1. 了解n次方根，根式的概念及其性质．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2. 理解指数函数、对数函数的概念．会用函数图象和代数运算的方法研究指数函数与对数函数的性质，并能综合运用其解决简单的问题．
3. 掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）.体会数形结合思想、函数方程思想的应用．
4. 会利用已知的函数模型解决问题，能根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．
活动一 构建知识网络
活动二 数的大小比较
数的大小比较常用方法：
(1) 比较两数（式）或几个数（式）的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2) 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3) 比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0且小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
例1　已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a＜b＜c
B. c＜b＜a
C. b＜a＜c
D. b＜c＜a
已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. c＜a＜b B. a＜b＜c
C. b＜c＜a D. b＜a＜c
活动三 对（指）数方程的求解
例2　求下列各式中的x：
(1) 3－2＝10；
(2) log a x＝log ac＋b.
解方程：log2(4x＋4)＝x＋log2(2x+1－3).
活动四 与指数、对数有关的应用问题
例3　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v＝5log2（单位：m/s），其中Q表示燕子的耗氧量，则一只两岁燕子静止时的耗氧量是　　　　单位．
地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4).A地的地震级别为9.0级，B地的地震级别为8.0级，那么A地地震释放的能量是B地地震释放能量的　　　　倍．
活动五　复合函数的单调性　
1. 一般地，对于复合函数y＝f(g（x)），如果t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g（a)，g(b)）或者(g（b)，g(a)）上是单调函数，那么y＝f(g（x)）在区间(a，b)上也是单调函数．
2. 对于函数y＝f(t)，t＝g(x).
若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域．
例4　已知函数f(x)＝.
(1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2) 若函数f(x)有最大值3，求a的值．
已知函数f(x)满足f(x)＋log2x＝log2(ax＋1).
(1) 当a＝1时，解不等式f(x)＞1；
(2) 若关于x的方程f(x)＝2x的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围；
(3) 设a＞0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围．
活动六 指数函数、对数函数和幂函数的综合应用
指数函数与对数函数性质的对比：
指数函数与对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．
(1) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．当a变化时，函数的图象和性质也随之变化．
(2) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1，0).
(3) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)具有相同的单调性．
(4) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，两函数图象关于直线y＝x对称．
例5　已知函数f(x)＝lg 在区间（－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)＝lg (1＋x)＋lg (1－x).
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 若f(x)＝lg g(x)，判断函数g(x)在区间(0，1)上的单调性并用定义证明．
活动七 函数的零点及应用
由于函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决．根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图象，从中体会数形结合的作用．
例6　已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 (　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
活动八　函数模型及其应用　
1. 几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
反比例函数模型 f(x)＝＋b（k，b为常数，k≠0）
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
指数函数模型 f(x)＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
幂函数模型 f(x)＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
2. 三种函数模型的性质
y＝ax(a＞1) y＝logax (a＞1) y＝xn (n＞0)
在区间(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
3. 解函数应用问题的四步骤：
(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
(3) 解模：求解函数模型，得出数学结论；
(4) 还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
例7　据气象中心观察和预测，发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（单位：h）内沙尘暴所经过的路程 s（单位：km）.
(1) 当t＝4时，求s的值；
(2) 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3) 若N城位于M地正南方向，且距 M地 650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城？如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（a为常数），如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为　　　　；
(2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过　　　　h后，学生才能回到教室．
1. 函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2. 从考查角度看，对指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．
3. 函数建模的基本过程如图．
1. 若函数f(x)＝4x－3×2x＋3的值域为[1，7]，则f(x)的定义域为(　　)
A. (－1，1)∪[2，4] B. (0，1)∪[2，4]
C. [2，4] D. （－∞，0]∪[1，2]
2. （2025巴中期末）下列不等式中，成立的是(　　)
A. < B. 1.70.3<0.93.1
C. log37>log57 D. log233. （多选）（2025西安期末）函数y＝－ln (x＋1)的零点所在区间不可能是(　　)
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
4. （2025榆林期末）若函数f(x)＝log3(x－a＋2)的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为　　　　．
5. 已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1) 求实数m的取值范围；
(2) 若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求实数m的值．
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【活动方案】
例1 C　因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x＞0时，f(x)＞0，从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，所以a＝g(－log25.1)＝g(log25.1).又20.8＜2，且4＜5.1＜8，则2＜log25.1＜3，所以0＜20.8＜log25.1＜3，所以g(20.8)＜g(log25.1)＜g(3)，即b＜a＜c.
跟踪训练　A　由题意，得m－1＝1，所以m＝2，所以2n＝8，解得n＝3，所以f(x)＝x3.因为 f(x)＝x3 是R上的增函数，又－＜0＜＜＝1＜ln π，所以c＜a＜b.
例2 (1) 因为3x－－2＝10，所以x－＝4，
解得x＝4-3＝.
(2) 方法一：由对数定义可知，
x＝alogac＋b＝alogac·ab＝c·ab.
方法二：由已知移项，得log ax－log ac＝b，
即log a ＝b.
由对数定义知＝ab，所以x＝c·ab.
方法三：因为b＝log a ab，
所以log ax＝log ac＋log a ab＝loga(c·ab)，
所以x＝c·ab.
跟踪训练　原方程可转化为log2(4x＋4)＝log2[2x(2x+1－3)]，则4x＋4＝2x(2x+1－3)，
即4x－3×2x－4＝0，解得2x＝4或2x＝－1（舍去），
所以x＝2，经检验x＝2满足方程．
例3 10　由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入已知函数关系式，得0＝5log2，解得 Q＝10，即一只两岁燕子静止时的耗氧量是10单位．
跟踪训练　10　由R＝(lg E－11.4)，得R＋11.4＝lg E，故E＝.设A地和B地地震释放的能量分别为E1，E2，则＝＝10＝10，即A地地震释放的能量是B地地震释放能量的10 倍．
例4 (1) 当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3.
因为g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，而y＝是减函数，
所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
(2) 令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝.
因为f(x)有最大值3，所以h(x)有最小值－1，
所以解得a＝1.
故当f(x)有最大值3时，a的值为1.
跟踪训练　(1) 因为f(x)＋log2x＝log2(ax＋1)，
所以f(x)＝log2（a＋）.
当a＝1时，由题意，得
解得0故不等式的解集为(0，1).
(2) 关于x的方程f(x)＝2x有且仅有一解，
即关于x的方程log2＝－2log2x有且仅有一解，
等价于关于x的方程ax2＋x－1＝0有且仅有一解，且x＞0，ax＋1＞0.
当a＝0时，x＝1符合题意；
当a>0时，Δ＝1＋4a>0，x1·x2＝－<0，此时方程有一正根、一负根，满足题意；
当a<0时，要使ax2＋x－1＝0有且仅有一正解，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－，则方程的解为x＝2，满足题意．
综上，实数a的取值范围为{－}∪[0，＋∞）.
(3) 当0＜x1＜x2时，＋a>＋a，
所以log2>log2，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)，
则f(t)－f(t＋1)＝log2－log2（＋a）≤1，
即at2＋(a＋1)t－1≥0对任意t∈恒成立．
因为a＞0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间上单调递增，
所以当t＝时，y有最小值a－.
由a－≥0，得a≥.
故实数a的取值范围为.
例5 因为f(x)＝lg 在区间（－∞，1]上有意义，
所以1＋2x＋a·4x>0在区间（－∞，1]上恒成立．
因为4x>0，所以a>－在区间（－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－，x∈（－∞，1].
由y＝－与y＝－在区间（－∞，1]上均单调递增，可知g(x)在区间（－∞，1]上也单调递增，
所以g(x)max＝g(1)＝－＝－，
所以a>－.
故实数a的取值范围为.
跟踪训练　(1) 由得－1所以函数f(x)的定义域为(－1，1).
又f(－x)＝lg (1－x)＋lg (1＋x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2) 函数g(x)在区间(0，1)上单调递减．证明如下：
因为f(x)＝lg (1－x2)＝lg g(x)，
所以g(x)＝1－x2.
任取0则g(x1)－g(x2)＝1－x－（1－x）＝(x1＋x2)(x2－x1).
因为00，x2－x1>0，
所以g(x1)－g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，
所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递减．
例6 令g(x)＝f(x)－x.
因为g(0)＝，g＝f－＝－，
所以g(0)·g＜0.
又函数g(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，所以存在x0∈，使g(x0)＝0，
即f(x0)＝x0.
跟踪训练　B　令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
例7 (1) 当0≤t≤10时，设v＝kt，则30＝10k，则k＝3，所以v＝3t.当t＝4时，v＝3×4＝12，
所以s＝×4×12＝24(km).
(2) 当0≤t≤10时，v＝3t，则s＝×t×3t＝t2；
当10则s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；
当20则s＝－＝－t2＋70t－550.
综上，s＝
(3) 当t∈[0，10]时，smax＝×102＝150<650；
当t∈（10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650；
当t∈（20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，
解得t1＝30，t2＝40.
因为20所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．
跟踪训练　(1) y＝　由题意，得当0≤t≤0.1时，可设y＝kt.因为点(0.1，1)在直线上，所以k＝10.同理，当t>0.1时，可得1＝，即0.1－a＝0，所以a＝，所以y＝
(2) 0.6　由题意，得<0.25，则t>0.6.故至少需要经过0.6 h后，学生才能回到教室．
【检测反馈】
1. D　设t＝2x，则t>0，且g(t)＝t2－3t＋3.由题意，得g(t)＝＋的值域为[1，7]，且在区间上单调递减，在区间上单调递增．对于A，当x∈(－1，1)∪[2，4]时，t∈∪[4，16]，显然g(t)min＝g＝<1，故A错误；对于B，当x∈(0，1)∪[2，4]时，t∈(1，2)∪[4，16]，显然g(t)min＝g＝<1，故B错误；对于C，当x∈[2，4]时，t∈[4，16]，显然g(t)min＝g(4)＝7，故C错误；对于D，当x∈（－∞，0]∪[1，2]时，t∈（0，1]∪[2，4]，则由二次函数的性质，得当t＝1或t＝2时，g(t)min＝g(1)＝g(2)＝1，当t＝4时，g(t)max＝g(4)＝7，故D正确．
2. C　对于A，因为y＝x为减函数，<，所以>，故A不成立；对于B，因为y＝1.7x为增函数，y＝0.9x为减函数，所以1.70.3>1.70＝1＝0.90>0.93.1，故B不成立；对于C，在同一坐标中画出y＝log3x与y＝log5x的图象如图所示，由图可知log37>log57，故C成立；对于D，因为log47＝log227＝log27＝log2，y＝log2x在区间(0，＋∞)单调递增，且<3，所以log23>log2＝log47，故D不成立．
3. ACD　易知函数y＝－ln (x＋1)的定义域为(－1，＋∞)，函数在定义域上单调递减．对于A，因为f(0)＝2>0，f(1)＝1－ln 2>0，所以f(0)f(1)>0，所以函数在区间(0，1)上无零点，故A符合题意；对于B，因为f(1)＝1－ln 2>0，f(2)＝－ln 3＝ln －ln 3<0，所以f(1)·f(2)<0，所以函数在区间(1，2)上有零点，故B不符合题意；对于C，因为f(2)＝－ln 3<0，f(3)＝－2ln 2＝ln －ln 4<0，所以f(2)·f(3)>0，所以函数在区间(2，3)上无零点，故C符合题意；对于D，因为f(3)＝－2ln 2<0，f(4)＝－ln 5＝ln －ln 5<0，所以f(3)f(4)>0，所以函数在区间(3，4)上无零点，故D符合题意．故选ACD.
4. (－∞，1)　由对数函数的性质，得x－a＋2>0，解得x>a－2，所以函数y＝f(x)的定义域为(a－2，＋∞).又函数的图象经过第一、二、三象限，所以f(0)>0，即log3(0－a＋2)>0，所以log3(2－a)>log31，则2－a>1，解得a<1，故实数a的取值范围为(－∞，1).
5. (1) 当m＝－6时，y＝－14x－5，
令y＝0，得x＝－，此时函数有零点－，符合题意；
当m≠－6时，由函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有零点，
得Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)≥0，
解得m≤－且m≠－6.
综上，实数m的取值范围是.
(2) 因为函数有两个不同零点，
所以方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0有两个不同的实根，所以
解得m<－且m≠－6.
设方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0的两个不同的实根分别为x1和x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为＋＝－4，所以＝－4，
即－＝－4，解得m＝－3，符合题意．
故实数m的值为－3.