第一章 集合与常用逻辑用语 本章复习 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 本 章 复 习
1. 了解集合的相关概念，理解元素与集合的属于关系以及集合的表示方法．
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3. 理解两个集合的交集与并集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，并能熟练运用定义解决常见问题．
4. 理解命题与定理、定义之间的关系，理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，理解判定定理、性质定理、定义分别与充分条件、必要条件、充要条件的关系．
5. 会用全称量词与存在量词描述一些数学命题，能正确地写出全称量词命题与存在量词命题的否定．
6. 体会分类讨论、数形结合的思想在集合问题中的应用，体会转化与化归思想的应用．会使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性．
活动一 构建知识网络
活动二 理解集合概念，掌握基本方法
例1　设集合A＝.
(1) 试判断1和2与集合A的关系；
(2) 用列举法表示集合A.
例2　已知集合A＝{|a＋1|，3，5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2，3}时，求A∪B.
活动三　理解充要条件　
例3　是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x－2>0或3x＋3<0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由．
例4　已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，求实数a的值．
活动四　理解量词的概念　
例5　已知命题p： x0∈R，x－mx0＋1＝0，命题q：m>1.若p为假命题，q为真命题，求实数m的取值范围．
例6　先判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，再写出命题的否定，并判断其真假．
(1) 有些质数是奇数；
(2) 所有二次函数的图象都开口向上；
(3) x0∈Q，x＝5；
(4) 不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
活动五　探究提升能力　
例7　已知A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠ ，A∪B＝A，求实数m的取值范围．
已知A＝{x|－2＜x＜7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ，A∪B＝A，求实数m的取值范围．
已知A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且A∩B＝B，求实数m的取值范围．
已知A＝{x|－2＜x＜7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．
1. (2025玉溪月考)如图，已知矩形U表示全集，A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. ( UA)∩( UB) B. ( UA)∪( UB)
C. ( UB)∩A D. ( UA)∩B
2. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. (多选)(2025长春期末)下列结论中，正确的是(　　)
A. 命题“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B. “x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件
C. 已知命题p“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”，则命题p的否定为真命题
D. 命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”为真命题
4. (2024天津西青期中)已知集合A＝{x|05. 已知命题p： x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，命题q： x∈R，x2＋2x－a>0.
(1) 若命题p和命题 q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围；
(2) 若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．
本 章 复 习
【活动方案】
例1 (1) 当x＝1时，＝2∈N，所以1∈A.
当x＝2时，＝ N，所以2 A.
(2) 令x＝0，1，2，3，4，代入，检验∈N是否成立，可得A＝{0，1，4}．
例2 由题意，得|a＋1|＝2，所以a＝1或a＝－3.
当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3，2a＋1＝3，由集合中元素的互异性知a≠1，不符合题意；
当a＝－3时，集合B＝{－5，3，2}，符合题意，
所以A∪B＝{－5，2，3，5}．
例3 因为4x＋p<0，所以x<－.
因为x－2>0或3x＋3<0，所以x>2或x<－1.
又因为“4x＋p<0”是“x－2>0或3x＋3<0”的充分条件，
所以－≤－1，即p≥4，
故实数p的取值范围为p≥4.
例4 由题意，得p：x≥－2，q：x≥a－1.
因为p是q的充要条件，
所以a－1＝－2，即a＝－1.
例5 p为假命题，即关于x的方程x2－mx＋1＝0无实数解，则m2－4<0，解得－2q为真命题，则m>1.
综上，实数m的取值范围是1例6 (1) “有些质数是奇数”是存在量词命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2) “所有二次函数的图象都开口向上”是全称量词命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3) “ x0∈Q，x＝5”是存在量词命题，其否定为“ x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4) “不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称量词命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
例7 因为A∪B＝A，所以B A.
又B≠ ，所以
解得2故实数m的取值范围为2跟踪训练1　因为A∪B＝A，所以B A.
又B≠ ，所以解得2≤m<4，
所以实数m的取值范围为2≤m<4.
跟踪训练2　由题意，得B A.
①若B＝ ，则m＋1≥2m－1，解得m≤2；
②若B≠ ，则解得2综上，实数m的取值范围为m≤4.
跟踪训练3　由题意，得B A.
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2；
②若B≠ ，则解得2≤m<4.
综上，实数m的取值范围为m<4.
【检测反馈】
1. D　在阴影部分区域内任取一个元素x，则x A且x∈B，即x∈ UA且x∈B，所以阴影部分可表示为( UA)∩B.
2. A　由题意，得“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，但“返回家乡”一定是在“攻破楼兰”的前提下，故“返回家乡”是“攻破楼兰”的充分不必要条件．
3. ABD　对于A，当x＝4时，x2－3x－4＝0成立，所以命题“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题，故A正确；对于B，由x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4.又{4}是{－1，4}的真子集，所以“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，因为m>0，所以Δ＝1＋4m>0，所以方程x2＋x－m＝0有实数根，即命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，故C错误；对于D，因为m2＋n2＝0，所以m＝0且n＝0，故D正确．故选ABD.
4. {a|a≥1}　因为x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，所以A?B，所以a＋1≥2，解得a≥1，所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．
5. (1) 若命题p为真命题，即命题 x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，所以6<2a，所以a>3；
若命题q为真命题，即 x∈R，x2＋2x－a>0，
所以Δ＝22＋4a<0，解得a<－1.
因为命题p和命题 q有且只有一个为假命题，
所以当命题p为假命题，命题 q为真命题时，
即－1≤a≤3；
当命题p为真命题，命题 q为假命题时，
即a∈ .
综上，实数a的取值范围是－1≤a≤3.
(2) 若命题p和命题q都为假命题，则
即－1≤a≤3.
因为命题p和命题q至少有一个为真命题，
所以a>3或a<－1.
故实数a的取值范围是a<－1或a>3.