第一章 有理数（培优）（含答案）

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第一章 有理数（培优）
一、单选题
1．△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（　　）
A．4 B．4或5 C．5或6 D．6
2．设实数a，b，c满足a＞b＞c(ac＜0)，且|c|＜|b|＜|a|，则|x-a|+|x+b|+|x-c|的最小值为（　　）
A． B．|b| C．a+b D．－c－a
3．如图，已知正方形的边长为24 cm，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行。若乙的速度为9cm/s，甲的速度为3cm/s，当它们运动了2024 s时，它们在正方形边上相遇了(　　)
A．252次 B．253次 C．254次 D．255次
4．已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（　　）
A．2 B．-2 C．-4 D．±2
5．若 则m(　　).
A．是完全平方数，还是奇数 B．是完全平方数，还是偶数
C．不是完全平方数，但是奇数 D．不是完全平方数，但是偶数
6．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
二、填空题
7．数轴上与－2相距3个单位长度的点表示的数是　 　，长度为5个单位长的木条放在数轴上，最多能覆盖　 　个整数点.
8．阅读下面材料：
在数轴上5与 所对的两点之间的距离： ；
在数轴上 与3所对的两点之间的距离： ；
在数轴上 与 所对的两点之间的距离： ；
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离
回答下列问题：
（1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是　 　；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为　 　；
数轴上表示数　 　和　 　的两点之间的距离表为 ；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子 进行探究：
①请你借助于数轴进行探究：当表示数x的点在 与3之间移动时， 的值总是一个固定的值为：　 　.
②请你借助于数轴进行探究：如果要使 ，那么数轴上表示点的数 　 　.
9．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2021cm的线段AB，则盖住的整点的个数是　 　．
10．如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/s的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/s的速度向左匀速运动.当点B运动到线段上时，P是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为　 　.
11．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律， 　 　度 .
12． 的个位数字是　 　．
三、计算题
13．先化简： ÷ + ，再求当x+1与x+6互为相反数时代数式的值．
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
15．先化简，再求值： ÷（x+2﹣ ），其中x=3+ ．
16．已知x2+y2+8x+6y+25=0，求 - 的值.
四、解答题
17．在数轴上，我们可以利用线段端点表示的两个数进行减法运算的方法，即大的数减去小的数，求线段的长度.如图，在数轴上，点A、B、C示的数分别是-2、0、3.线段AB= 0 - (-2) =2；线段BC = 3 - 0 = 3；线段AC = 3 - (-2) = 5.
（1）若点E、F表示的数分别是-8 和2，则线段EF的长为　 　.
（2）点M、N为数轴上的两个动点.点N在点M的左边，点M表示的数是-5，若线段MN的长为 12，则点 N表示的数是　 　.
（3）点 P、Q为数轴上的两个动点.动点 P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A一C一A 运动.动点Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点A运动.设点P、Q的运动时间为t(t>0)秒.
①当点P沿A一C运动时，求点P、Q相遇时t的值
②当点B将线段PQ分成的两部分的比为1：4时，直接写出t的值.
18．附加题：(有兴趣的同学自愿完成)
已知a= +2019，b= +2020，c= +2021，请计算代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值
19．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
2．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
3．【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
4．【答案】C
【知识点】平方根
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
6．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
7．【答案】-5和1；6
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段上的两点间的距离
8．【答案】（1）3；x 3；x；-2
（2）5； 3或4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；线段上的两点间的距离
9．【答案】2022
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
10．【答案】或
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离
11．【答案】180（n+1）
【知识点】平行线的性质；探索图形规律
12．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
13．【答案】解：原式= +
= +
= ，
∵x+1与x+6互为相反数，
∴原式=﹣1
【知识点】分式的化简求值；解一元一次方程
14．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，，
，
；
（3）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
15．【答案】解：原式= ÷（ ﹣ ）
= ÷
=
= ，
当x=3+ 时，原式= = =
【知识点】分式的化简求值
16．【答案】解：∵x2+y2+8x+6y+25=0 ，
∴(x+4)2+(y+3)2=0.
∴x+4=0 ，y+3=0 ，
∴x=-4，y=-3.
- = - = - = .
当x=-4，y=-3时，原式=- .
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值；偶次方的非负性
17．【答案】（1）10
（2）-17
（3）解： ①； ② t的值为或或
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
18．【答案】解：因为a= +2019， b= +2020，c= +2021
所以a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1
则原式= (2a2 +2b2+2c2 -2ab-2ac-2bc)
= [(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]
= (1+4+1)
=3
【知识点】完全平方公式及运用
19．【答案】解：
解不等式得，则．
解不等式得，则，
故原不等式组的解集为，
在数轴上表示其解集如下．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
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