第2章 整式及其加减（培优）（含答案）

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第2章 整式及其加减（培优）
一、单选题
1．小明同学在寻找上面图中小圆圈个数的规律时，利用了下面图中“分块计数法”。根据小明的方法，猜想并判断下列说法不正确的是（　　）
A．第5个图形有61个小圆圈 B．第6个图形有91个小圈圈
C．某个图小圆圈的个数可以为271 D．某个图小圆圈的个数可以为621
2．如图，用棋子摆出一组图形：
如果按照这种规律摆下去，那么第2035个图形用的棋子个数为（　　）
A．6106 B．6107 C．6108 D．6109
3．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（　　）

A．55 B．42 C．41 D．29
4．如图，下列图形中的数字按一定规律排列按此规律，则第 个图中 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点， 第二次将点向右移动6个单位长度到达点， 第三次将点向左移动9个单位长度到达点， ……按照这种移动规律进行下去，第30次移动到点 ，那么点所表示的数为（　　）
A． B．46 C． D．91
6．观察下列算式：31＝3；32＝9；33＝27；34＝81；35＝243；36＝729；37＝2187；38＝6561；……．用你发现的规律，得出32023的末位数字是（　　）
A．3 B．9 C．7 D．1
二、填空题
7．将从1开始的连续自然数按图规律排列：
列 行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第 行 … … … …
规定位于第 行，第 列的自然数10记为 ，自然数15记为 …按此规律，自然数2018记为　 　.
8．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
（1）根据前面各式的规律，则 　 　．
（2）请计算 的展开式中第三项的系数是　 　．
9．观察后面的一列单项式： …根据你发现的规律，第10个单项式为　 　.
10．已知x1，x2，x3， x2019都是不等于0的有理数，若 ，求y1的值．
当x1＞0时， ；当x1＜0时， ，所以y1=±1，值有两个．
（1）若 ，求y2的值为　 　 ；
（2）若 ，则y3的值为　 　；
（3）由以上探究猜想， 共有　 　个不同的值，在y2019这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于　 　．
11．在如图所示的平面直角坐标系内，已知△OA1B1中，点A1、点B1的坐标分别为A1（1，1）、B1（1，0），将线段OA1绕点O逆时针旋转，使OA1落在y轴的正半轴上得到线段OB2，以OB2为直角边作等腰直角三角形△OB2A2，且斜边OA2在第二象限；再将线段OA2绕点O逆时针旋转，使OA2落在x轴的负半轴上得到线段OB3，以OB3为直角边作等腰直角三角形△OB3A3，且斜边OA3在第三象限：……，如此作下去，则点A2021的坐标为 　 　．
12．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，下图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：
（1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第8行中从右边数第4个数是　 　；
（2）利用不完全归纳法探索出第 行中的所有数字之和为　 　．
三、计算题
13．已知x2-3x+1=0，试求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
14．定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b= ﹣a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如：2*1= ﹣2+1=﹣ ．
（1）求4*5的值；
（2）若x*（x+2）=5，求x的值．
15．把(x－y)看成一个整体合并同类项：5(x－y)2＋2(x－y)－3(x－y)2＋ (x－y)－3.5.
16．如果我们要计算1+2+22+23+……+*299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S=1+2+22+23+……+299+2100①式
在等式两边同乘以2，则有2S=2+22+23+……+299+2100+2101②式
②式减去①式，得2S-S=2101-1
即S=2101-1
即1+2+22+23+……+299+2100=2101-1
[理解运用]计算：
（1）1+3+32+33+……+399+3100；
（2）1-3+32-33+……-399+3100
四、解答题
17．某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款　 　元．（用含x的代数式表示）；若该客户按方案二购买，需付款　 　元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝5时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
18．关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”．
（1）以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有________；（将正确选项的序号填写在横线上．
①；②；③．
（2）某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？
（3）对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______．
19．若a，b，c均为整数，且，试计算的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】探索图形规律
2．【答案】C
【知识点】探索图形规律
3．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
4．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
5．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
6．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
7．【答案】（505，2）
【知识点】探索数与式的规律
8．【答案】（1）
（2）190
【知识点】探索数与式的规律
9．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
10．【答案】（1） 或0
（2）±1或±3
（3）2020；4038
【知识点】探索数与式的规律；绝对值的非负性
11．【答案】A2021（21010，2 1010）
【知识点】探索图形规律
12．【答案】（1）35
（2）
【知识点】探索数与式的规律
13．【答案】（1）解：∵x2-3x+1=0，
∴x+=3，
∴x2+=（x+）2-2，
=32-2，
=7.
（2）解：∵x3+=（x+）（x2-1+），
由（1）知x+=3，x2+=7，
∴x3+=3×（7-1）=18.
（3）解：∵x4+=（x2+）2-2，
由（1）知x2+=7，
∴x4+=72-2=47.
【知识点】代数式求值
14．【答案】（1）解：根据题意得：4*5= ﹣4+5=
（2）解：根据题意得： ﹣x+（x+2）=5，
化简得： =3，
方程两边都乘以x，得x+2=3x，
解得：x=1，
经检验x=1是原方程的解
【知识点】定义新运算
15．【答案】解：原式＝5(x－y)2－3(x－y)2＋2(x－y)＋ (x－y)－3.5
＝(5－3)(x－y)2＋ (x－y)－3.5
＝2(x－y)2＋ (x－y)－3.5
【知识点】合并同类项法则及应用
16．【答案】（1）解：设S=1+3+32+33+···+3100①
①两边均乘3得
3S=3+32+33+···+3101②
②-①得，2S=3101-1，即S=
（2）解：设S=1-3+32-33+···+3100①，
①两边均乘以3，得3S=3-32+33-···+3101②
②+①得，4S=3101+1，即S=
【知识点】探索数与式的规律
17．【答案】（1）200x＋1200；180x＋1440
（2）解：将x＝5代入方案一的付款中得：200×5＋1200＝2200元，
x＝5代入方案二的付款中得：180×5＋1440＝2340元，
∵2200元＜2340元，
∴当x＝5时，按方案一购买比较合算。
（3）解：若该客户按方案一购买微波炉2台送电磁炉2台；再按方案二购买电磁炉3台．
付款金额为：800×2＋200×3×90%＝2140元．
∵2140元＜2200元，
∴当x＝5时，按此方案购买更为省钱．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值
18．【答案】（1）①③；②；
（2）解：∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代效式”，
∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为；

（3）
【知识点】有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
19．【答案】解：，，均为整数，
的结果为整数，的结果也为整数，
，为两个非负整数，
，
分情况讨论：
①，，
②且，
由①可知，且，
，
∴，
由②可知，且，
，
∴，
综上所述，可知且，
．
【知识点】绝对值的非负性；求代数式的值-整体代入求值
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