2.4.1 圆的标准方程 课件（共30张PPT） 高二上学期 数学人教A版 选择性必修第一册

(共30张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
人教A版（2019）选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
学习目标
会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征
01
能根据所给条件求圆的标准方程
02
能准确判断点与圆的位置关系
03
知识引入
回顾前面学习过的，确定一条直线的几何要素有哪些？
两点确定一条直线，因而产生了直线方程的两点式；
一点和倾斜角也能确定一条直线，因而产生了直线方程的点斜式.
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形. 建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题. 类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
探索新知
思 考
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标 (确定圆的位置) 和半径 (确定圆的大小) 确定了，圆就唯一确定了.
O
x
y
A
r
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.
探索新知
思考：如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心 A 坐标为 (a，b)，半径为 r，设圆上任意一点 M (x，y)，如何求该圆的方程？
O
x
y
A
r
M
⊙A 是该点的集合 P＝{M | | MA |＝r}，
根据两点间的距离公式，点 M 的坐标 (x，y) 满足的条件可以表示为
＝r，
两边平方得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(1)
探索新知
思考：是否在圆上的点都满足这个方程？满足这个方程的坐标的点是否都在圆上？
O
x
y
A
r
M
由上述过程可知，
若点 M (x，y) 在 ⊙A 上，点 M 的坐标就满足方程 (1)；
反过来，若点 M 的坐标 (x，y) 满足方程 (1)，
就说明点 M 与圆心 A 间的距离为 r，点 M 就在 ⊙A 上.
探索新知
圆的标准方程
圆心为 A (a，b)，半径为 r 的圆的标准方程是_______________________.
______和______分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以只要 a，b，r (r＞0) 三个量确定了，圆的方程就唯一确定了.
圆心
半径
(1)当圆心在原点 (0，0) 时，方程为 x2＋y2＝r2．
(2)当圆心在原点 (0，0)，半径长 r＝1 时，方程为 x2＋y2＝1，称为单位圆．
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
典型例题
例 1 求圆心为 A(2，－3)，半径为 5 的圆的标准方程，并判断点 M1(5，－7)，M2(－2，－1) 是否在这个圆上．
解：圆心为 A(2，－3)，半径为 5 的圆的标准方程是
(x－2)2＋(y＋3)2＝25．
把点 M1(5，－7) 的坐标代入方程 (x－2)2＋(y＋3)2＝25 的左边，
得 (5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点 M1 的坐标满
足圆的方程，所以点 M1 在这个圆上．
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．
典型例题
例 1 求圆心为 A(2，－3)，半径为 5 的圆的标准方程，并判断点 M1(5，－7)，M2(－2，－1) 是否在这个圆上．
解：把点 M2(－2，－1) 的坐标代入方程 (x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得 (－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，
点 M2 的坐标不满足圆的方程，所以点 M2 不在这个圆上
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．
探索新知
探 究
点 M0(x0，y0)，在圆 x2＋y2＝r2 内的条件是什么？在圆 x2＋y2＝r2 外的条件又是什么？
圆 x2＋y2＝r2 的圆心为 A(0，0)，
M0(x0，y0) 满足的条件是：P＝{M0 | | M0A |＜r}，即 x02＋y02＜r2.
所以点 M0(x0，y0) 在圆内 x02＋y02＜r2.
同理，点 M0(x0，y0) 在圆外 x02＋y02＞r2.
探索新知
点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为 C(a，b)，半径为 r，点 P(x0，y0)，设 d＝|PC|＝．
位置关系 d 与 r 的大小 点 P 的坐标的特点
点在圆外 d >r ______________________
点在圆上 d＝r ______________________
点在圆内 d(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2典型例题
例 2 △ABC 的三个顶点分别是 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求 △ABC 的外接圆的标准方程．
解：设所求的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．①
因为 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8) 三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程 ①．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了 a，b，r，圆的标准方程就确定了．
典型例题
解：于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去 a2，b2，r2，
得到关于 a，b 的二元一次方程组
解此方程组，得
代入 (5－a)2＋(1－b)2＝r2，得 r2＝25．
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是 (x－2)2＋(y＋3)2＝25．
探索新知
思考：△ABC 的外接圆的圆心是 △ABC 的外心，即 △ABC 三边垂直平分线的交点. 根据上述定义，请用几何法求出过三点 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8) 的△ABC 的外接圆的标准方程.（说出思路即可）
r
直线 AB、BC 的垂直平分线方程 DM、DN
AB、BC 的中点的坐标 M、N
△ABC 的外接圆的标准方程
圆心 D 坐标
点 A 的坐标
两点距离 |DA| 即半径 r
A，B，C 三点
直线 AB、BC 方程
直线 AB、BC 的垂线的斜率
O
x
y
A
B
C
M
N
D
典型例题
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1)，B(2，－2) 两点，且圆心 C 在直线 l：x－y＋1＝0 上，求此圆的标准方程．
分析：设圆心 C 的坐标为 (a，b)．由已知条件可知，|CA|＝|CB|，且 a－b＋1＝0．由此可求出圆心坐标和半径．
另外，因为线段 AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB 的中点与圆心 C 的连线垂直于 AB，由此可得到另一种解法．
典型例题
解法 1(待定系数法)：设圆心 C 的坐标为 (a，b)．因为圆心 C 在直线 l：x－y＋1＝0 上，所以 a－b＋1＝0．①
因为 A，B 是圆上两点，所以 |CA|＝|CB|．
根据两点间距离公式，有
＝，
即 a－3b－3＝0．②
由 ①② 可得 a＝－3，b＝－2．所以圆心 C 的坐标是 (－3，－2)．
圆的半径 r＝|AC|＝＝5．
所以，所求圆的标准方程是 (x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
典型例题
解法 2(几何法)：如图，设线段 AB 的中点为 D．由 A，B 两点的坐标为 (1，1)，
(2，－2)，可得点 D 的坐标为 ，
因此，线段 AB 的垂直平分线 l′ 的方程是
即 x－3y－3＝0．
直线 AB 的斜率为 kAB ．
典型例题
解法 2(几何法)：由垂径定理可知，圆心 C 也在线段 AB 的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组 的解．
解这个方程组，得
所以圆心 C 的坐标是 (－3，－2)．
圆的半径 r＝|AC|＝＝5．
所以，所求圆的标准方程是
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
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A
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ABD
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ABD
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本节课学习了哪些知识点呢？
1. 圆的标准方程；
2. 点与圆的位置关系.