2.4.1圆的标准方程 课件（共26张PPT） 高二上学期 数学人教A版 选择性必修第一册

(共26张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. （重点）
2.会根据不同的已知条件求圆的标准方程. （难点）
3.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程.
4.能准确判断点与圆的位置关系.（重点）
学习目标
新课导入
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题。类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
新课导入
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写。
《古朗月行》
唐 李白
小时不识月
呼作白玉盘
又疑瑶台镜
飞在青云端
如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示
新课探究
思考：研究圆我们可以类比直线，直线的方程是如何研究的
直线的几何要素
（两点或者点+方向）
几何关系
代数关系
直线方程
应用
形
数
形
　 通过之前的学习，我们在坐标系内从“方程”的角度研究了直线．那么，在直角坐标系中，我们如何刻画圆呢？
新课探究
问题1 为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素。在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)
圆心
半径
圆上的动点M(x,y)
因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径。
位置
大小
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程。
新课探究
追问 根据圆的定义，在平面直角坐标系中，圆的方程是什么？
定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)
圆心
半径
圆上的动点M(x,y)
圆A的方程就是圆上动点的坐标满足的条件:集合 P＝{ M | |MA|＝r }.
新知讲解——圆的标准方程
圆的标准方程
我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程.
特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是.
注：圆的标准方程的特征：
1.是关于x、y的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径.
新课探究
追问 方程(x a)2+(y b)2=m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
当时，方程表示点．
当时，方程表示圆，此时圆的圆心为，半径为.
注：若点上，点的坐标就满足方程；
反过来，若点的坐标满足方程，就说明点与圆心间的距离为，点就在上.
巩固练习 P85
巩固练习
1.判断正误.
(1)方程一定表示圆.( )
(2)圆的圆心坐标是，半径是.( )
(3)若圆的标准方程为，则圆的半径一定是a.( )
2.以为圆心，为半径的圆的方程为( ).
. .
. .
×
×
×
巩固练习
3.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).
若点M(6,9)在圆N上，求半径a？
解：∵点M(6,9)在圆N上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.
典例分析
例1：
解：圆心为，半径为的圆的标准方程是
把点的坐标代入方程的左边，
得，左右两边相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程的左边，
得，左右两边不相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点不在这个圆上.
新课探究
问题2 点与圆有哪几种位置关系？如何确定点与圆的位置关系？
点在圆A上
点在圆A内
点在圆A外
新知讲解—点与圆的位置关系
位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断
点在圆上
点在圆外
点在圆内
＝
＝
>
>
<
<
巩固练习 P85
巩固练习
1：点和圆的位置关系是( 　　)
．在圆上 ．在圆外
．在圆内 ．以上都不对
2：已知点在圆的内部，则的取值范围是( )
B
A
典例分析
例 2：
ABC的三个顶点分别是A，B，C，求ABC外接圆标准方程.
解：设所求的方程是①
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组解此方程组，得
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
待定系数法
典例分析
(1)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的
标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常
用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为；
②列——由已知条件，建立关于，的方程组；
③解——解方程组，求出，；
④代——将代入所设方程，得所求圆的方程．
圆的标准方程的两种求法：
典例分析
例 3：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2, 2)两点，且圆心C在直线l:x y+1=0上，求此圆的标准方程.
先用待定系数法解答该题
法一：
思考：是否还有其他角度建立方程呢？
几何角度:如何确定圆心呢？
圆心
在l上
在AB中垂线上
AB中点
AB斜率
x
O
A(1,1)
B(2,-2)
y
典例分析
例 3：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2, 2)两点，且圆心C在直线l:x y+1=0上，求此圆的标准方程.
法二：
典例分析
圆的标准方程的两种求法：
(2)几何法：
典例分析
例 3：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2, 2)两点，且圆心C在直线l:x y+1=0上，求此圆的标准方程.
法三：
典例分析
例 2：
ABC的三个顶点分别是A，B，C，求ABC外接圆标准方程.
几何法
AB与BC中垂线的交点即为圆心
因为A(5,1)，B(7,-3)
所以AB的中点坐标为(6,-1)，且kAB=-2
所以AB中垂线的斜率为，
则AB中垂线方程为y+1=(x-6)，即x-2y-8=0,
同理可得，BC的中垂线方程为x+y+1=0
联立两个中垂线方程，得圆心坐标为M(2,-3)
所以半径r=|AM|=
故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
A
B
C
巩固练习 P85
课堂总结
1.圆的标准方程：
2.点与圆的位置关系：
3.求圆的标准方程的方法：
(x - a)2+(y - b)2= r2
待定系数法
几何法