3.2.2 双曲线的简单几何性质 课件（共36张PPT）高二上学期 数学人教A版 选择性必修第一册

(共36张PPT)
3.2.2 双曲线的简单几何
性质
人教A版（2019）选择性必修第一册
第三章 圆锥曲线的方程
学习目标
理解双曲线的简单几何性质
01
能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
02
知识引入
思考：类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
的哪些几何性质？如何研究这些性质？
研究双曲线的范围、对称性、顶点和离心率.
可以从双曲线的标准方程 (数) 和图形 (形) 两方面进行研究.
探索新知
双曲线的范围
你能从两个角度分析双曲线 的范围吗？
F1
F2
x
O
y
x＝－a
x＝a
“形”的角度：观察双曲线，可以直观发现双曲线上的点 (x，y) 的
横坐标的范围是 x≤－a，或 x≥a，
纵坐标的范围是 y∈R．
探索新知
双曲线的范围
F1
F2
x
O
y
x＝－a
x＝a
“数”的角度：根据方程，得到
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式
即 x2≥a2，y∈R.
所以 x≤－a，或 x≥a；y∈R．
这说明双曲线位于直线 x＝－a 及其左侧和直线 x＝a 及其右侧的区域.
你能从两个角度分析双曲线 的范围吗？
探索新知
双曲线的对称性
F1
F2
x
O
y
“形”的角度：
双曲线既关于坐标轴对称，
又关于原点对称．
你能从两个角度分析双曲线 的对称性吗？
探索新知
双曲线的对称性
“数”的角度：
F1
F2
x
O
y
P(x，y)
P2(x,－y)
P1(－x，y)
方程不变，
点在双曲线上
①P(x,y) P1(－x,y)
y 轴
②P(x,y) P2(x,－y)
x 轴
方程不变，
点在双曲线上
你能从两个角度分析双曲线 的对称性吗？
探索新知
双曲线的对称性
F1
F2
x
O
y
P(x，y)
P2(x,－y)
P3(－x，－y)
P1(－x，y)
③P(x,y) P3(－x，－y)
原点
方程不变，
点在双曲线上
双曲线关于 x 轴，y 轴和原点都是对称的. 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
你能从两个角度分析双曲线 的对称性吗？
探索新知
双曲线的顶点
你能从两个角度分析双曲线 的顶点吗？
F1
F2
x
O
y
A1
A2
“形”的角度：
从图形直观上可以发现双曲线与 x 轴有两个交点 A1(－a,0)，和 A2(a,0)，与 y 轴没有公共点．
探索新知
双曲线的顶点
你能从两个角度分析双曲线 的顶点吗？
F1
F2
x
O
y
A1
A2
“数”的角度：
令 y＝0，得 x＝－a 或 x＝a，所以双曲线的顶点为 A1(－a,0) 和 A2(a,0)；因为 x 轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令 x＝0，y2＝－b2，没有实数解．
探索新知
双曲线的顶点
能否类比椭圆把 B1(0,－b) 和 B2(0,b) 两点画在 y 轴上？线段 B1B2 有何几何意义？
F1
F2
x
O
y
A1
A2
线段 B1B2 称为双曲线的虚轴，△A2OB2 是直角三角形，且 |OA2|＝a，|OB2|＝b，|A2B2|＝c，线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．
B1
B2
c
探索新知
探 究
利用信息技术画出双曲线 和两条直线 (如图).
在双曲线的右支上取一点 M，测量点 M 的横坐标 xM 以及它到直线 的距离 d. 沿曲线向右上方拖动点 M ，观察 xM 与 d 的大小关系，你发现了什么？
可以发现，在向右拖动点 M 时，点 M的横坐标 xM 越来越大，d 越来越小，但是 d 始终不等于0．
探索新知
x
O
A1
y
A2
B1
B2
F2
F1
经过两点 A1，A2 作 y 轴的平行线 x＝±3，经过两点 B1，B2 作 x 轴的平行线 y ＝±2，四条直线围成一个矩形 (如图).
矩形的两条对角线所在直线的方程是 .
可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交．
探索新知
双曲线的渐近线
一般地，双曲线 的两支向外延伸时，与两条直线
逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．
实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．
在双曲线方程中 ，如果 a＝b，那么方程变为 x2－y2＝a2，
此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 2a. 这时，四条直线 x＝±a， y＝±b 围成正方形，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
探索新知
双曲线的离心率
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．
因为 c＞a＞0，所以双曲线的离心率 ．
思考：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
探索新知
用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张ロ”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？
因此，双曲线的离心率 e 可以用来刻画双曲线的“张口”大小．
由等式 c2＝a2＋b2，得
因此 e 逐渐增大时， 逐渐增大，即双曲线的渐近线 的斜率的绝对值逐渐增大，此时双曲线的“张口”逐渐增大，反之也成立．
探索新知
双曲线的简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性质 范围 x≥a，或 x≤－a；y∈R ______________________
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：___________，
_________
轴长 实轴长：2a；虚轴长：_____ 渐近线 y＝_______
离心率 e＝___，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a，b，c的关系 c2＝_________ (c>a>0，c>b>0) y≤－a，或 y≥a；x∈R
A1(0，－a)
A2(0，a)
2b
a2＋b2
典型例题
例 3 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：把双曲线的方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程
由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是 (0，－5)，(0，5)；
离心率 e＝ ；渐近线方程为 y＝± ．
典型例题
例 4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图 (1))．它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高为 55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程 (精确到 1 m)．
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图 (2) 所示的直角坐标系 Oxy，使小圆的直径 AA′ 在 x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径 CC′，BB′ 都平行于 x 轴，且 |CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．
典型例题
解：设双曲线的方程为 (a＞0，b＞0)，点 C 的坐标为 (13，y)，
则点 B 的坐标为 (25，y－55)．
因为直径 AA′ 是实轴，所以 a＝12．又 B，C 两点都在双曲线上，所以
典型例题
解：由方程②，得 y＝ (负值舍去)．代入方程①，得
化简得 19b2＋275b－18 150＝0．　③
解方程③，得 b≈25 (负值舍去)．
因此所求双曲线的方程为
典型例题
例 5 动点 M(x，y) 与定点 F(4，0) 的距离和它到定直线 l：x＝ 的距离的比是常数 ，求动点 M 的轨迹．
解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，动点 M 的轨迹就是点的
集合 P＝ ，由此得 ．
将上式两边平方，并化简，得 7x2－9y2＝63，即
所以，点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上，
实轴长为 6、虚轴长为 2 的双曲线 (如图)．
探索新知
思 考
将例 5 与椭圆一节中的教材例 6 比较，你可以得出什么结论？
动点 M 与一个定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是常数 e .若这个常数大于 0 且小于 1，则动点的轨迹是椭圆；
若这个常数大于 1，则动点的轨迹是双曲线.
典型例题
例 5 如图，过双曲线 ＝1 的右焦点 F2，倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A，B 两点，求 |AB|．
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为 F1(－3，0)，F2(3，0).
因为直线 AB 的倾斜角是 30°，且经过右焦点 F2，所以直线 AB 的方程为
由 消去 y，得 5x2＋6x－27＝0．
解方程，得 x1＝－3，x2＝ ．
典型例题
例 5 如图，过双曲线 ＝1 的右焦点 F2，倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A，B 两点，求 |AB|．
解：将 x1，x2 的值分别代入①，得y1＝－2，y2＝－ ．
于是，A，B 两点的坐标分别为 (－3，－2)， ．
所以 |AB|＝
当堂检测
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B
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C
当堂检测
C
当堂检测
C
当堂检测
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当堂检测
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本节课学习了哪些知识点呢？
1. 双曲线的简单几何性质；
2. 双曲线的离心率、渐近线；
3. 直线与双曲线的位置关系.
感谢观看
祝同学新学期新气象