19　课时分层训练(十五)　探索三角形相似的条件（教师版）初中数学北师大版九年级上册

课时分层训练(十五)　探索三角形相似的条件
知识点一　两角分别相等的两个三角形相似
1．如图所示的3个三角形，相似的是(　A　)
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．①和②和③
2．如图，AB∥EF，AE∥BC，EF与AC交于点G，则图中相似三角形共有 3 对．
知识点二　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　D　)
A．∠B＝∠D B．＝
C．∠C＝∠AED D．＝
第3题图
4．如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝ 54或 时，△AOC与△BOD相似．
第4题图
5．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34．求证：△ABC∽△AED．
证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴＝＝．∴＝．
又∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
知识点三　三边成比例的两个三角形相似
6．已知△ABC的三边长是，2，与△ABC相似的三角形的三边长可能是(　A　)
A．1， B．1，
C．1， D．1，
7．如图，O为△ABC内一点，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点．求证：△DEF∽△ABC．
证明：∵D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，
∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，
即＝＝．
∴△DEF∽△ABC．
知识点四　黄金分割
8．若点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则下列比例式正确的是(　A　)
A．＝ ＝
C．＝ ＝
9．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 (80－160) cm．(结果保留根号)
10．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8的方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的(　C　)
A．F B．G
C．H D．K
11．如图，已知零件的外径是25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量零件的内孔直径AB．若OC∶AC＝1∶3，量得CD＝10 mm，则零件的厚度为(　B　)
A．2 mm B．2.5 mm
C．3 mm D．3.5 mm
12．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为 23 ℃．(结果精确到1 ℃)
13．如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，连接BE，CF⊥BE于点F．求证：△ABE∽△FCB．
证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠EBC．
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°．
∴∠CFB＝∠A＝90°．
∴△ABE∽△FCB．
14．如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在边BC，AB上，且∠AED＝60°．求证：△AEC∽△EDB．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴∠EDB＋∠BED＝120°，∠CAE＋∠AEC＝120°．
∵∠AED＝60°，
∴∠BED＋∠AEC＝180°－60°＝120°．
∴∠BED＝∠CAE．
∴△AEC∽△EDB．
15．如图，已知AB∥DC，点E，F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．求证：△ABE∽△CDF．
证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D．
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB∶DC＝BE∶DF＝2．
∴△ABE∽△CDF．
【创新运用】
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm．动点M从点C出发，以1 cm/s的速度沿CA向终点A移动，同时动点P从点A出发，以2 cm/s 的速度沿AB向终点B移动，连接PM，设移动时间为t s(0＜t＜2.5)．
(1)AM＝ (4－t) cm，AP＝ 2t cm．(均用含t的代数式表示)
(2)当AP＝AM时，求t的值．
(3)是否存在某一时刻t，使以M，P，A为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出相应t的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm．
∴根据勾股定理，得AB＝＝＝5(cm)．
∵动点M从点C出发，以1 cm/s的速度沿CA向终点A移动，同时动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向终点B移动，
∴AM＝(4－t)cm，AP＝2t cm．
故答案为(4－t)；2t．
(2)当AP＝AM时，则2t＝4－t，
解得t＝．
∴当AP＝AM时，t＝．
(3)存在．分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，＝，
即＝，解得t＝．
②当△APM∽△ABC时，＝，
即＝，解得t＝．
综上所述，当t＝或时，以M，P，A为顶点的三角形与△ABC相似．
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