22　课时分层训练(十八)　相似三角形的性质（教师版）初中数学北师大版九年级上册

课时分层训练(十八)　相似三角形的性质
知识点一　对应中线、高线、角平分线的比等于相似比
1．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体AB＝30，根据图中尺寸(AB∥CD)，则CD的长应是(　D　)
A．15 B．30
C．20 D．10
2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为(　D　)
A． C．
3．如图，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在边AC上，点S在边AB上，SR⊥AD，垂足为E．当SR＝BC时，则DE＝ h ．(用含h的代数式表示)
知识点二　周长比等于相似比
4．若两个相似三角形的对应中线比是1∶3，则它们的周长比是(　B　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶6 D．1∶9
5．已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的周长为5，则△A1B1C1的周长是(　C　)
A．4 B．8
C．15 D．18
知识点三　面积比等于相似比的平方
6．如果两个相似三角形的周长之比为5∶7，那么这两个三角形的面积之比为(　C　)
A．5∶7 B．7∶5
C．25∶49 D．49∶25
7．将△ABC放大到2倍，得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′的面积比是(　C　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
8．若两个相似三角形的面积比是1∶9，则它们对应边的中线之比为(　C　)
A．1∶9 B．3∶1
C．1∶3 D．1∶81
9．如图，在 ABCD中，E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则＝(　C　)
A．
C．
10．若两个相似三角形的对应高的比是1∶4，则它们的周长比是(　B　)
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
11．若两个相似三角形的面积之比为4∶9，则它们对应角的平分线之比为(　A　)
A．2∶3 B．3∶2
C．∶3 D．∶2
12．用一个2倍放大镜照△ABC，则△ABC放大后，不发生改变的是(　A　)
A．各内角的度数 B．各边长
C．周长 D．面积
13．若两个相似三角形的面积比是9∶4，则它们对应边上的高之比为(　C　)
A．4∶9 B．9∶4
C．3∶2 D．2∶3
14．利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长分别为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为 ．
15．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC＝2∶3，其中CB＝，DE＝ ．
第15题图
16．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为边BC上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为1，则△ABD的面积为 3 ．
　
第16题图
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O．M为边AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1．
(1)求BD的长；
(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD．
∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC．
∴△MND∽△CNB．∴＝．
∵M为边AD的中点，
∴＝．∴BN＝2DN．
设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝x－1，
∴x＋1＝2(x－1)，解得x＝3．
∴BD＝2x＝6．
(2)∵△MND∽△CNB，
且相似比为1∶2，
∴MN∶CN＝1∶2．
∴S△MND∶S△CND＝1∶2．
∵△DCN的面积为2，
∴△MND的面积为1．
∴△MCD的面积为3．
设 ABCD的边AD上的高为h，
∵S ABCD＝AD·h，
S△MCD＝MD·h＝AD·h，
∴S ABCD＝4S△MCD＝4×3＝12．
∴四边形ABCM的面积为S ABCD－S△MCD＝9．
【创新运用】
18．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上．
(1)当P恰好为边AB的中点时，PQ＝ 60 mm ；
(2)当PQ＝40 mm，求PN的长度；
(3)若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2．则这个矩形的长、宽各是多少？
解：(1)∵四边形PQMN为矩形，
∴PQ∥MN，即PQ∥BC．
∵P恰好为边AB的中点，
∴AP＝BP．
∴AQ＝CQ．
∴PQ＝BC＝×120＝60(mm)．
故答案为60 mm．
(2)由题意，得AD⊥BC，
∵PQ∥BC，
∴PQ⊥AD，△APQ∽△ABC．
∴＝．
∴＝．
∴AH＝．
∴PN＝HD＝AD－AH＝80－＝(mm)．
(3)设矩形的宽PN为x mm，则长PQ为2x mm，
∵四边形PQMN为矩形，AD⊥BC，
∴AH＝(80－x)cm．
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC．
∴＝．
∴＝，解得x＝．
∴2x＝．
答：矩形的长为 mm，宽为 mm．
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