23　课时分层训练(十九)　图形的位似（教师版）初中数学北师大版九年级上册

课时分层训练(十九)　图形的位似
知识点一　图形的位似
1．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是(　C　)
A．△DEF B．△DHF
C．△GEH D．△GDH
2．如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，分别在OA，OB，OC上取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得△DEF，有下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△DEF与△ABC的周长比为1∶3；
④△DEF与△ABC的面积比为1∶9．
其中正确的个数是(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中，正确命题的序号是 ② ．
4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ，＝ ．
知识点二　位似图形变换
5．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形．若A(3，0)，B(2，－1)，C(6，0)，则点B的对应点D的坐标为(　A　)
A．(4，－2)
B．(6，－3)
C．(4，2)
D．(6，3)
6．已知点A(0，3)，B(－4，8)，以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，点D与点B对应，则点D的坐标为(　C　)
A．(－1，2)
B．(1，－2)
C．(－1，2)或(1，－2)
D．(2，－1)或(－2，1)
7．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是(　C　)
A．2∶3 B．3∶2
C．2∶5 D．5∶2
第7题图
8．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△DEF与△ABC的面积之比是(　D　)
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
第8题图
9．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标是(　D　)
A．(－3，－2)
B．(－3，－2)或(3，2)
C．(－12，－8)
D．(－12，－8)或(12，8)
10．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积之比为 1∶9 ．
第10题图
11．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，则这两个正方形每组对应顶点到位似中心的距离之比是 1∶ ．
　
第11题图
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，3)，C(2，1)．
(1)在坐标系中原点O的异侧，画出以点O为位似中心的位似图形△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC的相似比为2，则点C′的坐标为 (－4，－2) ；
(2)△A′B′C′的面积为 6 ；
(3)在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小，直接写出点P的坐标为 ．
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求，点C′的坐标为(－4，－2)．
故答案为(－4，－2)．
(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×4－×2×2－×2×4＝6．故答案为6．
(3)如图，点P即为所求，P．
故答案为．
【创新运用】
13．如图1，△ABC为等边三角形，△ADE是△ABC的位似图形，点D在边AB上，点E在边AC上．
(1)求证：DE∥BC；
(2)如图2，将△ADE绕点A旋转α至△AMN的位置，当AM⊥BC时，请你判断AC与MN的位置关系，并说明理由．
图1
　
图2
(1)证明：∵△ADE是△ABC的位似图形，
∴△ADE∽△ABC．
∴∠ADE＝∠B．
∴DE∥BC．
(2)解：AC⊥MN．理由如下：
如图，延长AM交BC于点D．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵AM⊥BC，
∴∠DAC＝30°．
又∵∠AMN＝60°，
∴∠AFM＝90°，即AC⊥MN．
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