31　第六章成果展示　反比例函数（教师版）初中数学北师大版九年级上册

第六章成果展示
反比例函数
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是(　C　)
A．y＝3x B．y＝3x＋1
C．y＝ D．y＝3x2
2．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只(x取正整数)，这个月的总成本为5 000元，则y与x之间满足的关系式为(　C　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
3．如图，已知点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，且△AOP的面积为4，则k的值为(　C　)
A．8 B．4
C．－8 D．－4
4．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是(　D　)
A．图象经过点(1，1)
B．图象位于第一、三象限
C 图象关于直线y＝－x对称
D．y随x的增大而增大
5．点A，B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且点A，B的纵坐标分别是2和6，O为坐标原点，连接OA，OB，AB，则△OAB的面积是(　C　)
A．9 B．12
C．16 D．18
6．函数y＝(k≠0)的图象如图所示，则函数y＝kx－k的图象大致是(　B　)
A　 　 　 　 　B
C　 　 　 　 　D
7．反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是(　B　)
A．3 B．5
C．6 D．8
8．一次函数y1＝ax＋b(a≠0)与反比例函数y2＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，当y1＞y2时，x的取值范围是(　B　)
A．－1＜x＜3
B．x＜－1或0＜x＜3
C．x＜－1或x＞3
D．－1＜x＜0或x＞3
9．如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象与AB相交于点D(2，6)，与BC相交于点E，若BD＝3AD，则点E的坐标为(　D　)
A．(12，1) B．(4，3)
C．(8，2) D．
第9题图
10．两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B．当点P在y＝的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当A是PC的中点时，B一定是PD的中点．
其中一定正确的是(　C　)
　
第10题图
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．如果点(4，5)在反比例函数y＝的图象上，那么k＝ 20 ．
12．如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 a＜3 ．
13．已知点A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数y＝的图象上，则x1 ＞ x2．(填“>”“<”或“＝”)
14．反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象如图所示，过y1上的任意一点A作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，则△AOB的面积为 1 ．
15．如图，定义：若双曲线y＝(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A，B两点，则线段AB的长度为双曲线y＝(k＞0)的对径．若双曲线y＝(k＞0)的对径是6，则k＝ ．
16．如图，在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝ 1.5 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)已知函数y＝(m2＋2m)xm2－m－1．
(1)如果y是x的正比例函数，求m的值；
(2)如果y是x的反比例函数，求m的值，并写出此时y与x之间的函数表达式．
解：(1)由y＝(m2＋2m)xm2－m－1是x的正比例函数，得m2－m－1＝1且m2＋2m≠0，
解得m＝2或m＝－1．
(2)由y＝(m2＋2m)xm2－m－1是x的反比例函数，得m2－m－1＝－1且m2＋2m≠0，
解得m＝1．
故y与x之间的函数表达式为y＝．
18．(8分)如图，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数y＝(k＜0)的图象交于A，C两点，其中点A(－3，m)，一次函数y＝－x＋b的图象与x轴交于点B(－2，0)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标；
(3)根据图象，直接写出不等式－x＋b＜的解集．
解：(1)由点B(－2，0)在一次函数y＝－x＋b的图象上，得b＝－2．
∴一次函数的表达式为y＝－x－2．
由点A(－3，m)在一次函数y＝－x－2的图象上，得m＝1．
∴A(－3，1)．
把点A(－3，1)代入y＝(k＜0)，得k＝－3．
∴反比例函数的表达式为y＝－．
(2)解得 或
∴点C的坐标是(1，－3)．
(3)根据图象，得不等式－x＋b＜的解集为－3＜x＜0或x＞1．
19．(8分)如图，直线y＝x＋2与反比例函数y＝(k≠0)的图象相交于点A(m，3)，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
解：(1)把点A(m，3)代入y＝x＋2，
得3＝m＋2，
∴m＝2．
∴A(2，3)．
把点A(2，3)代入y＝(k≠0)，
得k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝．
(2)对于直线y＝x＋2，令y＝0，
得x＝－4，
∴C(－4，0)．
设点P(x，0)，可得PC＝|x＋4|．
∵△ACP的面积为3，
∴|x＋4|×3＝3，即|x＋4|＝2，
解得x＝－2或x＝－6．
∴点P的坐标为(－2，0)或(－6，0)．
20．(10分)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象，直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，x的取值范围．
解：(1)令反比例函数y＝－中x＝－2，
则y＝4．∴点A的坐标为(－2，4)．
令反比例函数y＝－中y＝－2，则x＝4．
∴点B的坐标为(4，－2)．
∵一次函数y＝kx＋b的图象过A，B两点，
∴ 解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋2．
(2)令y＝－x＋2中x＝0，则y＝2，
∴点N的坐标为(0，2)．
∴S△AOB＝ON·(xB－xA)＝×2×[4－(－2)]＝6．
(3)观察函数图象发现：当x＜－2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
故一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，x的取值范围为x＜－2或0＜x＜4．
21．(10分)小明家的饮水机中原有水的温度为20 ℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y(℃)与开机时间x(min)满足一次函数关系；当加热到100 ℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y(℃)与开机时间x(min)成反比例关系；当水温降至20 ℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)．根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(min)的函数表达式；
(2)求图中t的值；
(3)若小明上午八点将饮水机通电开机(此时饮水机中原有水的温度为20 ℃)后立即外出散步，预计上午八点半散步回到家中，回到家时，他能喝到饮水机内不低于30 ℃的水吗？请说明理由．
解：(1)当0≤x≤8时，设水温y(℃)与开机时间x(min)的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
将(0，20)，(8，100)代入y＝kx＋b，得
解得
∴当0≤x≤8时，水温y(℃)与开机时间x(min)的函数表达式为y＝10x＋20．
(2)当8≤x≤t时，设水温y(℃)与开机时间x(min)的函数表达式为y＝(m≠0)．
将(8，100)代入y＝，得100＝，
解得m＝800．
∴当8≤x≤t时，水温y(℃)与开机时间x(min)的函数表达式为y＝．
当y＝＝20时，x＝40．
∴图中t的值为40．
(3)不能．理由如下：
当x＝30时，y＝＝<30．
∴小明上午八点半散步回到家中时，不能喝到饮水机内不低于30 °C的水．
22．(12分)如图1， OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，点A(2，1)，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B．
(1)求点B的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长．
图1　　　　　　　图2
解：(1)∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝3．
∵A(2，1)，
∴B(2，4)．
把点B(2，4)代入y＝，得k＝8．
∴反比例函数的表达式为y＝．
(2)如图2，设K是OB的中点，则点K(1，2)．
图2
易求得直线OB的函数表达式为y＝2x．
易求得直线MN的函数表达式为y＝－x＋，∴N．
∴ON＝．
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