32　专项突破提升(一)　一元二次方程的解法及应用（教师版）初中数学北师大版九年级上册

专项突破提升(一)
一元二次方程的解法及应用
类型一　直接开平方法
1．(4分)一元二次方程x2＝4的解是(　C　)
A．2 B．－2
C．±2 D．无解
2．(4分)方程(x＋1)2＝1的解为(　D　)
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝－1
C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝0，x2＝－2
3．(4分)方程(x－2)2－9＝0的根是 x1＝5，x2＝－1 ．
类型二　配方法
4．(4分)用配方法解方程x2－4x＝1，变形后结果正确的是(　C　)
A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝2
C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝2
5．(4分)用配方法解一元二次方程x2＋2x＝3时，将其化为(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值分别是(　C　)
A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝3
C．m＝1，n＝4 D．m＝－1，n＝3
6．(4分)一元二次方程x2－8x－2＝0配方后可变形为 (x－4)2＝18 ．
7．(6分)解方程：
(1)x2－6x＋8＝0；　(2)x2－4x－1＝0．
解：(1)∵x2－6x＋8＝0，
∴x2－6x＋9＝1．∴(x－3)2＝1．
∴x－3＝±1．∴x1＝2，x2＝4．
(2)∵x2－4x－1＝0，
∴x2－4x＋4＝5．
∴(x－2)2＝5．
∴x－2＝±．
∴x＝±＋2．
∴x1＝2＋，x2＝2－．
类型三　公式法
8．(4分)用公式法解一元二次方程3x2＋x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是(　B　)
A．a＝3，b＝－1，c＝7
B．a＝3，b＝1，c＝－7
C．a＝3，b＝－1，c＝－7
D．a＝3，b＝1，c＝7
9．(4分)方程2x2－10x＝3的解是 x1＝，x2＝ ．
10．(6分)用公式法解方程：
(1)x2－7x＋11＝0；(2)2x2＋5x＝x＋3．
解：(1)∵a＝1，b＝－7，c＝11，
∴Δ＝(－7)2－4×1×11＝5＞0．
∴x＝．
∴x1＝，x2＝．
(2)∵2x2＋5x＝x＋3，
∴2x2＋4x－3＝0．
∴a＝2，b＝4，c＝－3．
∴Δ＝42－4×2×(－3)＝40．
∴x＝．
∴x1＝，x2＝．
类型四　因式分解法之提公因式法
11．(4分)方程x2＝x的根为(　A　)
A．x1＝0，x2＝1 B．x＝0
C．x＝1 D．x＝－1
12．(4分)方程x(x－3)＝x－3的根是(　D　)
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝3，x2＝1
13．(6分)解方程：
(1)x(x－5)＝8(5－x)；
(2)2x(x－1)＝5(x－1)．
解：(1)∵x(x－5)＝8(5－x)，
∴x(x－5)－8(5－x)＝0．
∴x(x－5)＋8(x－5)＝0，
即(x＋8)(x－5)＝0．
∴x＋8＝0或x－5＝0．
∴x1＝－8，x2＝5．
(2)∵2x(x－1)＝5(x－1)，
∴2x(x－1)－5(x－1)＝0，
即(x－1)(2x－5)＝0．
∴x－1＝0或2x－5＝0．
∴x1＝1，x2＝2.5．
类型五　因式分解法之公式法
14．(6分)解方程：
(1)(x＋1)2－(2x－3)2＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－1)2．
解：(1)∵(x＋1)2－(2x－3)2＝0，
∴[(x＋1)＋(2x－3)][(x＋1)－(2x－3)]＝0，
即(3x－2)(－x＋4)＝0．
∴3x－2＝0或－x＋4＝0．
∴x1＝，x2＝4．
(2)移项，得(2x－1)2－(x－1)2＝0，
∴(2x－1－x＋1)(2x－1＋x－1)＝0，
即x(3x－2)＝0．
∴x＝0或3x－2＝0．
∴x1＝0，x2＝．
类型六　因式分解法之十字相乘法
15．(4分)一元二次方程x2＋8x－9＝0的解为 x1＝1，x2＝－9 ．
16．(4分)如果等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两根，那么它的周长为 17 ．
17．(6分)解方程：
(1)x2－2x－3＝0; (2)x2－7x＋10＝0．
解：(1)∵x2－2x－3＝0，
∴(x－3)(x＋1)＝0．
∴x－3＝0或x＋1＝0．
∴x1＝3，x2＝－1．
(2)∵x2－7x＋10＝0，
∴(x－2)(x－5)＝0．
∴x－2＝0或x－5＝0．
∴x1＝2，x2＝5．
类型七　增长率问题
18．(4分)某市2023年人均可支配收入为2.36万元，若2025年达到2.7万元，且2023年至2025年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是(　B　)
A．2.7(1＋x)2＝2.36
B．2.36(1＋x)2＝2.7
C．2.7(1－x)2＝2.36
D．2.36(1－x)2＝2.7
19．(4分)淇淇七年级时的体重是40 kg，到九年级时，体重增加到48.4 kg，则她的体重平均每年的增长率为(　B　)
A．5% B．10%
C．15% D．20%
20．(4分)某公司5月的营业额为25万，7月的营业额为36万，已知5，6月的增长率相同，则增长率为 20% ．
类型八　利润问题
21．(12分)某商店准备销售一种多功能文件夹，计划从厂家以每个8元的价格进货，经过市场调研发现，当每个文件夹的售价为10元时，月均销量为100个，售价每增长1元，月均销量就相应减少10个．
(1)若使这种文件夹的月均销量不低于50个，则每个文件夹售价应不高于多少元？
(2)在(1)的条件下，当这种文件夹销售单价为多少元时，销售利润是320元？
解：(1)设每个文件夹售价为x元，
根据题意，得100－10(x－10)≥50，
解得x≤15．
答：每个文件夹售价应不高于15元．
(2)根据题意，得(x－8)[100－10(x－10)]＝320，
整理，得x2－28x＋192＝0，
解得x1＝12，x2＝16(不符合题意，舍去)．
答：当这种文件夹销售单价为12元时，销售利润是320元．
类型九　面积问题
22．(4分)如图，把一块长为40 cm、宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去的小正方形的边长为x cm，则可列方程为(　D　)
A．(30－2x)(40－x)＝600
B．(30－x)(40－x)＝600
C．(30－x)(40－2x)＝600
D．(30－2x)(40－2x)＝600
23．(4分)一条长64 cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160 cm2，则其中较小正方形的边长为 4 cm．
24．(12分)为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用18 m的篱笆围成．生态园的面积能否为40 m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
解：能．
设AB＝x m，则AD＝BC＝(18－x)m，
根据题意，得x(18－x)＝40，
解得x1＝8，x2＝10．
答：AB的长为8 m或10 m．
类型十　其他问题
25．(4分)某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是(　D　)
A．6 B．7
C．8 D．9
26．(4分)一个两位数，十位数字比个位数字大3．若这两个数字之积等于这个两位数的，则这个两位数是 63 ．
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