35　专项突破提升(四)　反比例函数的综合应用（教师版）初中数学北师大版九年级上册

专项突破提升(四)
反比例函数的综合应用
类型一　反比例函数与一线三等角
1．(4分)如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为(2，1)，BO＝2，反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为 －8 ．
第1题图
2．(4分)如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°．若点A 在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，则经过点B的反比例函数表达式为 y＝－ ．
第2题图
类型二　反比例函数与特殊图形
3．(4分)如图，在△AOB中，AO＝AB，点A在第一象限，点B在x轴上，△AOB的面积为4，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A，则k的值为(　C　)
A．1 B．2
C．4 D．8
第3题图
4．(4分)如图，矩形OABC的面积为18，对角线OB与双曲线y＝(k＞0，x＞0)相交于点D，且OB∶OD＝3∶2，则k的值为 8 ．
　
第4题图
5．(4分)如图，正方形ABCD的两个顶点A，D分别在x轴和y轴上，CE⊥y轴于点E，OA＝2，∠ODA＝30°．若反比例函数y＝(x>0)的图象过CE的中点F，则k的值为 2＋6 ．
6．(4分)如图，等腰直角三角形ABC的斜边BC在x轴上，顶点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，连接OA，则OC2－OA2＝ 6 ．
7．(12分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．
(1)求k的值；
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在该反比例函数的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
解：(1)如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝CB＝AD，AB∥CD．
∴∠ABM＝∠DCN．
在△ABM和△DCN中，
∴△ABM≌△DCN(AAS)．
∴BM＝CN，AM＝DN．
∵点D的坐标为(4，3)，
∴DN＝4，CN＝3，CD＝＝5．
∴AM＝4，BM＝3，CB＝5．
∴CM＝CB＋BM＝5＋3＝8．
∴点A的坐标为(4，8)．
∵点A在反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，
∴8＝．
∴k＝32．
(2)设菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为d，则点D沿x轴正方向平移的距离也是d．
∴点D平移之后的坐标为(4＋d，3)．
∵点D平移之后落在此反比例函数图象上，
∴3＝，
解得d＝．
∴菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为．
类型三　反比例函数取值范围类
8．(4分)如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(4，2)，C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　C　)
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8
C．2≤k≤16 D．9≤k≤16
9．(4分)如图，若一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是(　C　)
A．b＞2 B．－2＜b＜2
C．b＞2或b＜－2 D．b＜－2
类型四　反比例函数在实际生活中的应用
10．(4分)某校对教室进行药物喷洒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的浓度y(mg/m3)和时间t(min)满足关系y＝，已知测得当t＝10 min时，药物浓度y＝5 mg/m3，则k的值为(　A　)
A．50 B．－50
C．5 D．15
11．(4分)某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示，点P(9，4)是图象上的点，若用电器的可变电阻范围为4～18 Ω，则该用电器可通过的电流范围为 2～9 A．
12．(12分)某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg/m3)与药物点燃后的时间x(min)成正比，药物燃尽后，y与x成反比(如图所示)．已知药物点燃后4 min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8 mg．
(1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
(2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2 mg时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间有多长？
解：(1)药物燃烧时，设y＝kx．
将(4，8)代入，得8＝4k，
解得k＝2．所以y＝2x．
(2)药物燃尽后，设y＝．
将(4，8)代入，得8＝，
解得m＝32．
所以y＝．
(3)在y＝2x中，当y＝2时，2x＝2，
解得x＝1．
在y＝中，当y＝2时，＝2，
解得x＝16．
16－1＝15(min)．
答：此次消毒有效时间为15 min．
类型五　反比例函数综合类
13．(12分)如图，反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象经过点A(1，3)，B(3，m)．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标．
(2)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小．
①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．
解：(1)把A(1，3)代入y＝，得k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝．
把B(3，m)代入y＝，
得m＝1，
∴点B的坐标为(3，1)．
(2)①如图，作点B关于x轴的对称点B′，则B′(3，－1)，连接BB′交x轴于点N，连接AB′交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小．
设直线AB′的表达式为y＝kx＋b．
把A(1，3)，B′(3，－1)代入，得
解得
∴直线AB′的表达式为y＝－2x＋5．
当y＝0时，x＝，
即点P的坐标为．
②由①得OP＝，∴S△PAB＝S梯形ABNM－S△AMP－S△BPN＝×(1＋3)×2－×3－×1＝．
14．(12分)如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是边AB的中点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D，与边BC交于点E．
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(2)若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，求出此时点P的坐标．
解：(1)∵D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1．
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D(1，4)．
∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D，
∴k＝4．
∴反比例函数的表达式为y＝(x＞0)．
当x＝2时，y＝2，
∴E(2，2)．
(2)如图，作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于点P，连接PD，DE．
∵DE为定值，
∴当PD＋PE的值最小时，△PDE的周长最小．
∵点D与点D′关于y轴对称，
∴PD＝PD′．
∴PD＋PE＝PD′＋PE＝D′E．
此时，△PDE的周长最小．
∵点D的坐标为(1，4)，
∴点D′的坐标为(－1，4)．
设直线D′E的函数表达式为y＝ax＋b，
把点D′(－1，4)，E(2，2)代入y＝ax＋b，得
解得
∴直线D′E的函数表达式为y＝－x＋．
令x＝0，得y＝，
∴点P的坐标为．
15．(12分)如图，直线y＝ax＋1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为(－2，0)．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求双曲线的表达式；
(3)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于点H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
解：(1)把A(－2，0)代入y＝ax＋1中，求得a＝，故一次函数的表达式为y＝x＋1．
(2)由PC＝2，把y＝2代入y＝x＋1中，求得x＝2，即P(2，2)．
把P(2，2)代入y＝，得k＝4．
所以双曲线的表达式为y＝(x>0)．
(3)如图，设Q(a，b)，作QH⊥x轴于点H，连接CQ．
∵Q(a，b)在y＝上，
∴b＝．
由题意，得OB＝1，OC＝2，CH＝a－2．
当△QCH∽△BAO时，可得＝，
即＝，
∴a－2＝2b，即a－2＝，
解得a＝4或a＝－2(舍去)．
∴Q(4，1)．
当△QCH∽△ABO时，可得＝，即＝，整理，得2a－4＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)．
∴Q(1＋，2－2)．
综上所述，点Q的坐标为(4，1)或(1＋，2－2)．
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