36　易错专题培优（教师版）初中数学北师大版九年级上册

易错专题培优
易错点一　概念理解不清
1．(4分)若(m－2)x|m|＋3x－1＝0是关于x的一元二次方程，则实数m的值是(　B　)
A．2 B．－2
C．±2 D．1
2．(4分)已知关于x的方程(m－1)x|m+1|＋5x＝0是一元二次方程，则m的值为 －3 ．
易错点二　整体思想和根与系数关系混淆
3．(4分)若x1，x2是方程x2－4x－2 020＝0的两个实数根，则代数式－2x1＋2x2的值等于(　C　)
A．2 026 B．2 027
C．2 028 D．2 029
4．(4分)若一元二次方程x2＋2x－2 024＝0的两个根分别为m，n，则代数式m2＋3m＋n的值为 2 022 ．
5．(4分)已知方程x2＋3x－1＝0的两根是x1，x2，则x1x2＋x1＋x2的值为 －4 ．
易错点三　动点定值类问题分辨不明确
6．(4分)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF等于(　C　)
A．6 B．5
C．
7．(4分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AB上不与A和B重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE＋PF＝ ．
易错点四　数形结合思想运用不熟练
8．(4分)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝(其中a，b是常数，ab≠0)的大致图象是(　A　)
9．(4分)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　B　)
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．(4分)如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，其中A(2，2)．当y＝x的函数值大于y＝的函数值时，x的取值范围是 －2＜x＜0或x＞2 ．
易错点五　忽略分类讨论
11．(4分)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是(　C　)
A．(－2，1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4)
D．(－2，1)或(2，－1)
12．(4分)如果＝＝＝k成立，那么k的值为(　C　)
A．1 B．－2
C．－2或1 D．1或2
13．(4分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，点P从点B出发沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1 cm/s的速度移动，P，Q两点同时出发，同时停止，经过 或 s，以C，P，Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
14．(14分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm．P，Q分别为AB，BC上的动点，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点B运动，点Q从点B出发，以1 cm/s的速度向点C运动，设P，Q移动的时间为t s(0＜t≤4)．
(1)当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？
(2)当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　备用图
解：(1)根据勾股定理，得AB＝＝5，
当△PBQ∽△ABC时，＝，
即＝，解得t＝．
当△PBQ∽△CBA时，＝，
即＝，解得t＝．
综上所述，当t的值为或时，△BPQ与△ABC相似．
(2)根据勾股定理，得AB＝＝5．
①当BP＝BQ时，5－t＝t，解得t＝．
②如图1，当BQ＝PQ时，作QE⊥BP，垂足为E．
∵BQ＝PQ，QE⊥BP，
∴BE＝BP＝(5－t)．
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，
∴△BQE∽△BAC．
∴＝，即＝，
解得t＝．
图1
　
图2
③如图2，当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F．
∵BP＝PQ，PF⊥BC，
∴BF＝BQ＝t．
∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，
∴△BPF∽△BAC．
∴＝，即＝，
解得t＝．
综上所述，当t的值为或或时，△PBQ为等腰三角形．
易错点六　特殊图形的存在性问题探究
15．(15分)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(2，3)，B(－3，n)两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b>的解集．
(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积为10？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵点A(2，3)在反比例函数y＝的图象上，
∴3＝，解得m＝6，即y＝．
把点B(－3，n)代入y＝，得n＝＝－2，
∴B(－3，－2)．
把点A(2，3)，点B(－3，－2)代入y＝kx＋b，
得 解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋1，反比例函数的表达式为y＝．
(2)不等式kx＋b>的解集是－3＜x＜0或x＞2．
(3)存在．如图，设直线AB与x轴交于点C．
把y＝0代入y＝x＋1，得x＝－1，
即C(－1，0)．
设点P的坐标为(a，0)，则PC＝|a－(－1)|＝|a＋1|．
∴S△ABP＝S△ACP＋S△BCP＝×3×|a＋1|＋×|－2|×|a＋1|＝10，
解得a＝3或a＝－5．
∴P(3，0)或P(－5，0)．
∴存在点P，使得△ABP的面积为10，点P的坐标为(3，0)或(－5，0)．
16．(14分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点A(a，3)，与x轴相交于点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设D为x轴正半轴上一点，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式．
解：(1)∵一次函数y＝x＋的图象经过点A(a，3)，
∴a＋＝3，
解得a＝2．
∴A(2，3)．
将A(2，3)代入y＝(x＞0)，
得3＝，
解得k＝6．
∴反比例函数的表达式为y＝．
(2)如图，过点A作AE⊥x轴于点E．
在y＝x＋中，令y＝0，得x＋＝0，
解得x＝－2．
∴B(－2，0)．
∵E(2，0)，
∴BE＝2－(－2)＝4．
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD．
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4．
∴D(6，0)．
设直线AD的函数表达式为y＝mx＋n．
∵A(2，3)，D(6，0)，
∴
解得
∴直线AD的函数表达式为y＝－x＋．
17．(15分)如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3．反比例函数y＝的图象经过BC的中点E，交边AB于点F，连接EF．
(1)求k的值与点F的坐标．
(2)x轴上是否存在一点P，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点Q是x轴上的一点，以点Q，E，F为顶点的三角形是直角三角形，请求出点Q的坐标．
解：(1)∵OA＝4，OC＝3，四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝3，BC＝AO＝4．
∴B(4，3)．
∵E是BC的中点，
∴E(2，3)．
∵反比例函数y＝的图象经过点E，
∴k＝2×3＝6．
∴反比例函数的表达式为y＝．
∵反比例函数y＝的图象经过点F，点F的横坐标为4，
∴y＝＝．
∴点F的坐标为．
(2)存在．设P(m，0)．
∵E(2，3)，F，
∴PE2＝(m－2)2＋32＝m2－4m＋13，PF2＝(m－4)2＋＝m2－8m＋，EF2＝(4－2)2＋＝4＋＝．
设直线EF的表达式为y＝kx＋b．
代入E(2，3)，F，
则解得
∴y＝－x＋．
①当PE＝PF时，m2－4m＋13＝m2－8m＋，解得m＝．
∴P．
②当PE＝EF时，m2－4m＋13＝，Δ＝(－4)2－4×1×＝16－27＝－11<0，
此方程无解．
③当PF＝EF时，m2－8m＋＝，
解得m＝2或m＝6．
∵直线EF的表达式为y＝－x＋，
当x＝6时，y＝－×6＋＝0，
∴P(6，0)在直线EF上，不合题意．
∴P(2，0)
综上所述，点P的坐标为(2，0)或．
(3)Q是x轴上的一点，设Q(n，0)，则QE2＝(n－2)2＋32＝n2－4n＋13，QF2＝(n－4)2＋＝n2－8n＋，EF2＝．
①当E为直角顶点时，EQ2＋EF2＝FQ2，即n2－4n＋13＋＝n2－8n＋，
解得n＝－．
∴Q．
②当F为直角顶点时，FQ2＋EF2＝EQ2，即n2－8n＋＝n2－4n＋13，
解得n＝．
∴Q．
③当Q为直角顶点时，EQ2＋FQ2＝EF2，即n2－4n＋13＋n2－8n＋＝，
此方程无解．
综上所述，点Q的坐标为或．
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