38　创新考向集训（教师版）初中数学北师大版九年级上册

创新考向集训
创新考向一　数学文化
1．(4分)我国南宋数学家杨辉曾提出一个问题，其大意是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是(　D　)
A．2x＋2(x＋12)＝864
B．x2＋(x＋12)2＝864
C．x(x－12)＝864
D．x(x＋12)＝864
2．(4分)欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2＋ax＝b2的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程x2＋x－1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，则长度恰好是方程x2＋x－1＝0的一个正根的线段为(　B　)
A．线段BF B．线段DG
C．线段CG D．线段GF
3．(4分)秦九韶在《数书九章》中记载了一个测量建筑物高的问题：如图，AB表示建筑物的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在同一条水平直线上．已知AC＝20 m，CE＝10 m，CD＝7 m，EF＝1.4 m，人从点F远眺建筑物的顶端B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出建筑物的高度．根据以上信息，建筑物的高度为 18.2 m．
创新考向二　规律探究
4．(4分)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝1，则图中与△OAB位似的三角形中，边OA对应边的长为 ．
创新考向三　推理论证
5．(12分)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角尺，使45°角的顶点落在点P处，三角尺可绕点P旋转．
(1)如图1，当三角尺的两边分别交AB，AC于点E，F时．求证：△BPE∽△CFP；
(2)将三角尺绕点P旋转到图2情形时，三角尺的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F．△BPE与△CFP还相似吗？(只需写出结论)
(3)在(2)的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？请说明理由．
(1)证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，
∴∠BPE＋∠BEP＝135°．
∵∠EPF＝45°，∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，
∴∠BPE＋∠CPF＝135°．
∴∠BEP＝∠CPF．
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP．
(2)△BPE∽△CFP．
(3)解：动点P运动到BC的中点位置时，△BPE与△PFE相似．理由如下：
同(1)，可证△BPE∽△CFP，
得＝．
∵CP＝PB，
∴＝．
∴＝．
又∵∠EBP＝∠EPF，
∴△BPE∽△PFE．
创新考向四　新定义
6．(12分)如图，在菱形ABCD中，m，n，t分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我们把关于x的形如mx2＋2tx＋n＝0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)填空：①当m＝4，n＝8时，t＝ 2 ；
②用含m，n的代数式表示t2＝ m2＋n2 ．
(2)求证：关于x的“菱系一元二次方程”mx2＋2tx＋n＝0必有实数根．
(1)解：①在菱形ABCD中，m，n，t分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，
当m＝4，n＝8时，t＝＝2．
故答案为2．
②由题意知t2＝＋＝m2＋n2．
故答案为m2＋n2．
(2)证明：mx2＋2tx＋n＝0，这里，a＝m，b＝2t，c＝n，
∴Δ＝(2t)2－4m·n＝4t2－2mn．
∵t2＝m2＋n2，
∴Δ＝m2＋n2－2mn＝(m－n)2≥0．
∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2＋2tx＋n＝0必有实数根．
创新考向五　阅读感悟
7．(12分)阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ － ；
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根分别为m，n，求的值；
(3)思维拓展：已知实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
解：(2)∵一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根分别为m，n，
∴m＋n＝，mn＝－．
∴＝ ＝ ＝＝－．
(3)∵实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，
∴s与t是方程2x2－3x－1＝0的两个实数根．
∴s＋t＝，st＝－．
∴(s－t)2＝(s＋t)2－4st．
∴(s－t)2＝－4×．
∴(s－t)2＝．
∴s－t＝±．
∴＝＝ ＝ ＝±．
创新考向六　方案设计
8．(15分)某超市销售甲、乙两种品牌的洗衣液，市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用3 000元购进的甲种品牌洗衣液与用4 000 元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶．调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶．请你设计一种方案，使两种品牌的洗衣液每天的利润之和达到4 700元．
解：(1)设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，则乙种品牌的洗衣液的进价为(x＋10)元，
根据题意，得＝，解得x＝30．
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意．
∴x＋10＝30＋10＝40．
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
(2)设乙种品牌的洗衣液每瓶的售价为y元，则乙种品牌的洗衣液每瓶的销售利润为(y－40)元，每天的销售量为140－2(y－50)＝(240－2y)瓶，
根据题意，得(45－30)×100＋(y－40)(240－2y)＝4 700，
整理，得y2－160y＋6 400＝0，
解得y1＝y2＝80．
答：当乙种品牌的洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4 700元．
创新考向七　探究开放
9．(12分)如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为菱形．
(1)你添加的条件是 ①或③ ；(填序号)
(2)添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
(2)证明：添加①，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(AAS)．
∴AD＝CD．
∴ ABCD为菱形．
添加③，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(ASA)．
∴AD＝CD．
∴ ABCD为菱形．
创新考向八　跨学科
10．(4分)二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，如01，10分别表示不同的二进制数，在由一个0，两个1组成的二进制数中，两个1相邻的概率是(　A　)
A． C．
11．(15分)【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL＝2 Ω) 亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间的关系为I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a＝ 2 ，b＝ 1.5 ．
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y＝(x≥0)，结合表格信息，探究函数y＝(x≥0)的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝(x≥0)的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 不断减小 ．
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥0时，≥－x＋6的解集为 x≥2或x＝0 ．
解：(2)①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y＝(x≥0)的图象如图．
(3)如图．
由函数图象知，当x≥2或x＝0时，≥－x＋6，
即当x≥0时，≥－x＋6的解集为 x≥2或x＝0．
故答案为x≥2或x＝0．
1 / 1