03 课时分层训练(三) 正方形的性质与判定(教师版)初中数学北师大版九年级上册

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名称 03 课时分层训练(三) 正方形的性质与判定(教师版)初中数学北师大版九年级上册
格式 docx
文件大小 213.2KB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-09-16 14:06:26

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文档简介

课时分层训练(三) 正方形的性质与判定
知识点一 正方形的性质
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( D )
A.对角线相等
B.轴对称图形
C.对角线互相平分
D.对角线平分每一组对角
2.如图,在正方形ABCD中,F为边AB上一点,CF与BD交于点E,连接AE.若∠BCF=25°,则∠AEF=( B )
A.35° B.40°
C.45° D.50°
第2题图
为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.若AB=2,AG=,则EB= .
 
第3题图
3.如图,点G是正方形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG知识点二 正方形中的一线三等角模型
4.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则点C的坐标是( A )
A.(1,3) B.(2,3)
C.(1,4) D.(3,1)
知识点三 过正方形中心的面积问题
5.如图,正方形ABCD的边长是2,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,AB上,且OE⊥OF,则四边形AFOE的面积为 1 .
知识点四 正方形的判定
6.下列说法正确的是( C )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.对角线互相垂直的菱形是正方形
知识点五 正方形中的十字模型
7.如图,在正方形ABCD中,BE⊥CF.若BE=2,则CF的长是 2 .
知识点六 正方形中的半角模型
8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=45°,正方形ABCD的边长为3,BE=1,则DF的长为 .
9.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E,F分别为AO,AD的中点.若EF=3,则OD的长是( D )
A.3 B.4
C.5 D.6
10.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接AP,EF.给出下列结论:①PD=EC;②C四边形PECF=2AB(C表示周长);③△APD一定是等腰三角形;④AP=EF;⑤∠PFE=∠BAP;⑥AP⊥EF.其中正确结论的个数是( C )
A.3 B.4
C.5 D.6
11.如图,将矩形纸片折叠,使点A落在BC上的点F处,折痕为BE,若沿EF剪下,则展开后折叠部分是一个正方形,其数学原理是 邻边相等的矩形是正方形 .
【创新运用】
12.(1)如图1,在正方形ABCD中,E为边AB上一点(点E不与点A,B重合),连接DE,过点A作AF⊥DE,交BC于点F,求证:DE=AF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E,F分别为边AB,CD上的点(点E,F不与正方形的顶点重合),连接EF,作EF的垂线分别交边AD,BC于点G,H,垂足为O.若E为AB的中点,DF=1,AB=4,求GH的长.
图1
图2
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°.
∴∠DAF+∠BAF=90°.
∵AF⊥DE,
∴∠DAF+∠ADE=90°.
∴∠ADE=∠BAF.
在△DAE和△ABF中,
∴△DAE≌△ABF(ASA).
∴DE=AF.
(2)解:如图,分别过点A,D作AN∥GH,DM∥EF,分别交BC,AB于点N,M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠DAB=∠B=90°.
∴四边形DMEF是平行四边形.
∴ME=DF=1,DM=EF.
∵DM∥EF,GH⊥EF,
∴DM⊥GH.
同理,四边形AGHN是平行四边形,
∴GH=AN.
∵AN∥GH,DM⊥GH,
∴AN⊥DM.
∴∠DAN+∠ADM=90°.
∵∠DAN+∠BAN=90°,
∴∠ADM=∠BAN.
在△ADM和△BAN中,
∴△ADM≌△BAN(ASA).
∴DM=AN.
∴DM=GH.
∵E为AB的中点,AB=4,
∴AE=AB=2.
∴AM=AE-ME=2-1=1.
在Rt△ADM中,AM=1,AD=4,
∴DM===.
∴GH=.
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