05　课时分层训练(四)　认识一元二次方程（教师版）初中数学北师大版九年级上册

课时分层训练(四)　认识一元二次方程
知识点一　一元二次方程的定义
1．下列各式中一定是一元二次方程的是(　B　)
A．x2＋x＝2y B．x2＝1
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋x＋1
2．若方程(a－3)x|a|-1＋2x＝3是关于x的一元二次方程，则a＝ －3 ．
3．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0．
(1)当m取何值时，该方程是一元二次方程？
(2)当m取何值时，该方程是一元一次方程？
解：(1)∵关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元二次方程，
∴ 解得m＝1．
∴当m＝1时，原方程是一元二次方程．
(2)∵关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元一次方程，
∴或
解得m＝－1或m＝0．
∴当m＝－1或0时，原方程是一元一次方程．
知识点二　一元二次方程的一般形式
4．一元二次方程3x2－2x－1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　D　)
A．3x2，2x，1
B．3x2，－2x，－1
C．3，2，1
D．3，－2，－1
5．方程3x(x－1)＝5的二次项系数是 3 ，一次项系数是 －3 ，常数项是 －5 ．
6．关于x的一元二次方程2(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0化为一般形式后为2x2－3x－1＝0，求b，c的值．
解：原方程可化为2(x2－2x＋1)＋b(x－1)＋c＝0，
整理，得2x2＋(b－4)x＋2－b＋c＝0，
所以b－4＝－3，2－b＋c＝－1，
解得b＝1，c＝－2．
知识点三　一元二次方程的解
7．一元二次方程x2＋mx＝2的一个根为2，则m的值为(　C　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
8．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为(　B　)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
9．若关于x的一元二次方程mx2－nx－1＝0(m≠0)的一个根是x＝1，则m－n的值是 1 ．
10．已知m是方程x2－2x－3＝0的一个根，求代数式2 035＋8m－4m2的值．
解：∵m是方程x2－2x－3＝0的一个根，
∴m2－2m－3＝0．
∴m2－2m＝3．
∴2 035＋8m－4m2＝2 035－4(m2－2m)＝2 035－4×3＝2 023．
11．下列方程中，属于一元二次方程的是(　D　)
A．－3x＋2＝0
B．2x2＋y－1＝0
C．2x－3y＋1＝0
D．x2－x－3＝0
12．一元二次方程2x2－3x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别是(　D　)
A．2，－1 B．2，0
C．2，3 D．2，－3
13．若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 025的值为(　D　)
A．2 025 B．2 026
C．2 027 D．2 028
14．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若a＋b＋c＝0，则该方程一定有一个根为(　C　)
A．x＝0 B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝2
15．若a是方程2x2＋4x－3＝0的一个根，则a2＋2a－1的值是(　C　)
A．1 B．2
C．
16．若关于x的方程(m－1)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则m的值不可能是 1 ．
17．将2x(x－1)＝x＋4化成一元二次方程的一般形式，并写出一次项系数和常数项．
解：方程整理，得2x2－3x－4＝0，
则一次项系数为－3，常数项为－4．
18．已知x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，求代数式a(a－1)＋a2＋5a的值．
解：∵x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，
∴1＋2a＋a2＝3．∴a2＋2a＝2．
∴a(a－1)＋a2＋5a＝a2－a＋a2＋5a＝2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝4．
【创新运用】
19．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，例如，3x2＋5x＋4＝0是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)试判断方程x2＋2x＋1＝0 是 “勾系一元二次方程”；(填“是”或“不是”)
(2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．
解：(1)在方程x2＋2x＋1＝0中，
∵a＝1，b＝1，∴c＝．
∴c＝＝2．
∴方程x2＋2x＋1＝0是“勾系一元二次方程”．
故答案为是．
(2)当x＝－1时，有a－c＋b＝0，即a＋b＝c．
∵2a＋2b＋c＝12，即2(a＋b)＋c＝12，
∴3c＝12．∴c＝2．
∴a2＋b2＝c2＝8，a＋b＝c＝4．
∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴ab＝4．
∴S△ABC＝ab＝2．
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