10　课时分层训练(九)　应用一元二次方程（教师版）初中数学北师大版九年级上册

课时分层训练(九)　应用一元二次方程
知识点一　几何图形问题
1．如图，在长为100 m、宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644 m2，则道路的宽应为多少？设道路的宽为x m，则可列方程为(　C　)
A．100×80－100x－80x＝7 644
B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644
C．(100－x)(80－x)＝7 644
D．100x＋80x＝356
知识点二　增长率问题
2．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为(　A　)
A．100(1＋x)2＝121
B．00(1＋x%)2＝121
C．100(1＋2x)＝121
D．100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝121
知识点三　销售问题
3．王阿姨的水果店以4元/千克的价格购入了一批苹果，再以6元/千克的价格出售，每天可售出200 kg．为了促销，王阿姨决定降价销售，在销售过程中发现，这种苹果每降价0.2元/千克，每天可多售出20 kg，另外，每天的房租等固定成本为50元，若王阿姨每天想要盈利250元，设应将每千克苹果的售价降低x元，则以下方程正确的为(　B　)
A．(6－x)－50＝250
B．(6－x－4)－50＝250
C．(6－x－4)＝250
D．(6－x－4)(200＋20x)－50＝250
知识点四　球赛与握手问题
4．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都只赛一场)，计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可列方程为(　D　)
A．2x＝15 B．x(x＋1)＝15
C．x(x－1)＝15 D．＝15
知识点五　动态几何问题
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合)；动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q分别从点A，B同时出发．
(1)求两点出发多少秒时，四边形APQC的面积为16 cm2；
(2)在两点的运动过程中，四边形APQC的面积能否为14 cm2
解：(1)设t s时，四边形APQC的面积为 ，×6×8＝24(cm2)，
24－×2t(6－t)＝16，
解得t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，BQ＝2×4＝8．
∵点Q不与点C重合，
∴t＝4不符合题意，舍去．
∴两点出发2 s时，四边形APQC的面积为16 cm2．
(2)设t s时，四边形APQC的面积为14 cm2，
24－×2t(6－t)＝14，
整理，得t2－6t＋10＝0，
Δ＝36－4×1×10＜0，此方程无解．
∴四边形APQC的面积不能为14 cm2．
知识点六　数字问题
6．读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？(提示：三十而立，四十而不惑)
解：设周瑜去世时年龄的个位数是x，则十位数是x－3．
根据题意，得10(x－3)＋x＝x2,
解得x1＝6，x2＝5．
∴x2＝36或x2＝25．
∵三十而立，四十而不惑，
∴x2＝25不符合题意，舍去．
综上，周瑜去世时是36岁．
7．进入12月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若12月第1周营业收入为3亿元，这三周的营业总收入为13亿元，设平均每周的增长率记为x，则可列方程为(　D　)
A．3(1＋x)＝13
B．3(1＋x)2＝13
C．3＋3(1＋x)2＝13
D．3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝13
8．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，则可列方程为 ＝10 ．
9．已知矩形的面积是54 cm2，当把这个矩形的长减少1 cm、宽增加2 cm后，所得的四边形是正方形，设矩形的宽为x cm，则根据题意，列方程为 x(x＋2＋1)＝54或x(x＋3)＝54 ．
10．如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为12 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x m，面积为y m2．
(1)用含x的代数式表示y，并求出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63 m2的花圃，AB的长是多少？
解：(1)∵AB的长为x m，且篱笆的总长度为30 m，
∴BC的长为(30－3x)m．
由题意，得
解得6≤x<10．
∴y＝x(30－3x)(6≤x<10)．
(2)依题意，得x(30－3x)＝63，
整理，得x2－10x＋21＝0，
解得x1＝3(不符合题意，舍去)，x2＝7．
答：AB的长是7 m．
11．为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2022年年底的藏书量为5万册，2024年年底的藏书量为7.2万册．
(1)求该校这两年藏书量的年均增长率；
(2)假设2025年该校藏书量的年均增长率与前两年相同，请你预测到2025年年底该校的藏书量是多少．
解：(1)设该校这两年藏书量的年均增长率为x，
依题意，得5(1＋x)2＝7.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去)．
答：该校这两年藏书量的年均增长率为20%．
(2)7.2×(1＋20%)＝8.64(万册)．
答：预测到2025年年底该校的藏书量是8.64万册．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝21 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1 cm/s．
(1)设点Q，点P运动时间为t s，则CP＝ t cm，BQ＝ t cm；
(2)点P，Q运动几秒时，它们相距15 cm
(3)△PCQ的面积能等于60 cm2吗？请说明理由．
解：(2)设运动t s时，P，Q两点相距15 cm，
依题意，得t2＋(21－t)2＝152，
解得t1＝9，t2＝12，
∴运动9 s或12 s时，P，Q两点相距15 cm．
(3)△PCQ的面积不能等于60 cm2．理由如下：
设运动x s时，△PCQ的面积等于60 cm2，
依题意，得x(21－x)＝60，
整理，得x2－21x＋120＝0．
∵Δ＝(－21)2－4×1×120＝－39＜0，
∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于 60 cm2．
【创新运用】
13．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出2件．
(1)当降价6元时，平均每天的销售数量为多少？
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？
解：(1)根据题意，得
若降价6元，则多售出12件，
平均每天的销售数量为12＋20＝32(件)．
答：当降价6元时，平均每天的销售数量为32件．
(2)设每件商品降价x元，
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，
解得x1＝10，x2＝20．
40－10＝30＞25，∴x＝10符合题意．
40－20＝20＜25，∴x＝20不符合题意，舍去．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元．
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