11　第二章成果展示　一元二次方程（教师版）初中数学北师大版九年级上册

第二章成果展示
一元二次方程
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．若方程(m－1)xm2＋1－(m＋1)x－2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为(　D　)
A．0 B．±1
C．1 D．－1
2．将关于x的一元二次方程x(x＋2)＝5化成一般形式后，a，b，c的值分别是(　D　)
A．1，2，5 B．1，－2，－5
C．1，－2，5 D．1，2，－5
3．方程2x2－8x－1＝0的根的情况是(　A　)
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根　
C．有两个相等的实数根
D．有一个实数根
4．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根是x＝1，则a＋b＋c 的值是(　A　)
A．0 B．－1
C．1 D．不能确定
5．某超市1月的营业额为36万元，3月的营业额为48万元，设从1月到3月平均每月营业额的增长率为x，则下面所列方程正确的是(　B　)
A．36(1－x)2＝48
B．36(1＋x)2＝48
C．36(1－x)2＝48－36
D．48(1－x)2＝36
6．如图，在一个长为16 m、宽为9 m的矩形地面上，修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，种草面积为112 m2，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是(　B　)
A．(9－2x)(16－2x)＝112
B．(9－x)(16－2x)＝112
C．(9－x)(16－x)＝112
D．(9－2x)(16－x)＝112
7．已知代数式3－x与－x2＋3x的值互为相反数，则x的值是(　A　)
A．－1或3 B．1或－3
C．1或3 D．－1和－3
8．一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是(　B　)
A．10 m B．12 m
C．13 m D．14 m
9．若关于x的一元二次方程(m－1)x2－4x－1＝0总有实数根，则m的取值范围为(　B　)
A．m≤5且m≠1
B．m≥－3且m≠1
C．m≥－3
D．m＞－3且m≠1
10．定义运算：a*b＝a(1－b)．若a，b是关于x的方程x2－x＋m＝0(m＜0)的两根，则b*b－a*a的值为(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．与m有关
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数等于其数字之和的3倍．如果这个两位数的十位数字为x，那么可列方程为 10x＋(x2＋3)＝3(x＋x2＋3) ．
12．设a，b分别是方程x2＋x－2 025＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值是 2 024 ．
13．规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b＝a(a＋b)，则方程(x－2)◎7＝0的根为 x1＝2，x2＝－5 ．
14．方程x(x－3)－5(x－3)＝0的根是 x1＝3，x2＝5 ．
15．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为 8或9 ．
16．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为 6，8，10或－2，0，2 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)用适当的方法解下列方程：
(1)x2－1＝4(x＋1)；(2)3x2－6x＋2＝0；
(3)5x2＋3x＝0；(4)(2x＋3)2－25＝0．
解：(1)∵x2－1＝4(x＋1)，
∴(x＋1)(x－1)－4(x＋1)＝0．
∴(x＋1)(x－5)＝0．
∴x＋1＝0或x－5＝0，
解得x＝－1或x＝5，
即x1＝－1，x2＝5．
(2)∵3x2－6x＋2＝0，
∴a＝3，b＝－6，c＝2．
∴Δ＝(－6)2－4×3×2＝12＞0．
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝．
(3)∵5x2＋3x＝0，∴x(5x＋3)＝0．
∴x＝0或5x＋3＝0，
解得x＝0或x＝－0.6，
即x1＝0，x2＝－0.6．
(4)∵(2x＋3)2－25＝0，
∴2x＋3＝5或2x＋3＝－5，
解得x＝1或x＝－4，即x1＝1，x2＝－4．
18．(8分)一面墙长为22 m，一养殖户要利用长为41 m的篱笆和这面墙圈成一个面积为216 m2的矩形养殖场，其中，养殖场不靠墙的长边上要设一道宽为1 m的门，如图．求这个矩形养殖场的长、宽各是多少．
解：设这个矩形养殖场的长为x m，则宽为 m．
根据题意，得x·＝216，
解得 x1＝18，x2＝24(不符合题意，舍去)．
宽为＝12(m)．
答：这个矩形养殖场的长、宽分别是18 m，12 m．
19．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0．
(1)若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
(2)当Rt△ABC的斜边长c＝，且两直角边长a和b恰好是这个方程的两个根时，求Rt△ABC的面积．
解：(1)由题意，得Δ＝4－4(m－1)＞0，
解得m＜2．
(2)由题意可知a＋b＝2，ab＝m－1．
由勾股定理，得a2＋b2＝3，
∴(a＋b)2－2ab＝3，即4－2(m－1)＝3．
∴m＝．∴ab＝．
∴SRt△ABC＝ab＝．
20．(10分)某商店销售一批头盔，平均每天可售出20顶，每顶盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每顶每降1元，商店平均每天可多售出5顶头盔．若商店平均每天要盈利1 600元，则每顶头盔应降价多少元？
解：设每顶头盔降价x元，则每顶头盔的销售利润为(44－x)元，平均每天可售出(20＋5x)顶．
依题意，得(44－x)(20＋5x)＝1 600，
整理，得x2－40x＋144＝0，
解得x1＝36，x2＝4．
∵要扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝36．
答：每顶头盔应降价36元．
21．(10分)阅读材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法称为配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2．请根据阅读材料解决下列问题．
(1)因式分解：a2－4a＋4＝ (a－2)2 ；
(2)若|a＋1|＋b2－6b＋9＝0，求a＋b的值；
(3)若a，b，c分别是△ABC的三边长，且a2＋4b2＋c2－2ab－6b－2c＋4＝0．试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(2)∵|a＋1|＋b2－6b＋9＝0，
∴|a＋1|＋(b－3)2＝0．
∴a＋1＝0，b－3＝0．
∴a＝－1，b＝3．
∴a＋b＝－1＋3＝2．
(3)△ABC是等边三角形．理由如下：
∵a2＋4b2＋c2－2ab－6b－2c＋4＝0，
∴(a2－2ab＋b2)＋(c2－2c＋1)＋(3b2－6b＋3)＝0，即(a2－2ab＋b2)＋(c2－2c＋1)＋3(b2－2b＋1)＝0．
∴(a－b)2 ＋(c－1)2 ＋3(b－1)2＝0．
∴a－b＝0，c－1＝0，b－1＝0．
∴a＝b，c＝1，b＝1．
∴a＝b＝c．
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴△ABC是等边三角形．
22．(12分)我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右边是乘法和减法运算，例如，[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13．
(1)求[－4，3]*[2，－6]的值；
(2)已知关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
解：(1)∵[a，b]*[c，d]＝ac－bd，
∴[－4，3]*[2，－6]＝－4×2－3×(－6)＝－8＋18＝10．
(2)∵[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0，
∴x·(mx＋1)－(2x－1)·m＝0．
整理，得mx2＋(1－2m)x＋m＝0．
∵关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(1－2m)2－4m2≥0，且m≠0，
解得m≤且m≠0．
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