16　课时分层训练(十三)　直线与圆的位置关系（教师版）初中数学青岛版九年级上册

课时分层训练(十三)　直线与圆的位置关系
知识点一　直线与圆的位置关系
1．圆的直径为10 cm，如果圆心到直线的距离是d，那么(　C　)
A．当d＝8 cm时，直线与圆相交
B．当d＝4.5 cm时，直线与圆相离
C．当d＝5 cm时，直线与圆相切
D．当d＝10 cm时，直线与圆相切
2．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为点H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，则l沿OC所在直线向下平移 2 cm时与⊙O相切．
知识点二　切线的判定
3．如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切．
证明：如图，连接OD．
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．∴∠A＋∠B＝90°．
∵∠ADC＝∠B，
∴∠ODA＋∠ADC＝90°，
即∠CDO＝90°．∴CD⊥OD．
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
4．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD，DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2．若S2＝5S1，求tan ∠BAC 的值．
(1)证明：如图，连接OD．
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∴∠CDB＝90°．
∵E为BC的中点，∴DE＝BE．
∴∠EDB＝∠EBD．
∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，
即∠EDO＝∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，
∴AB⊥BC．∴∠EBO＝90°．∴∠ODE＝90°．
∵OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)解：∵E为BC的中点，
∴S△CDE＝S△DEB＝S1．∴S△CDB＝2S1．
∴S△ADB＝5S1－S1＝4S1．
根据条件，易得△CDB∽△BDA．
∵面积比为2S1∶4S1＝1∶2，
∴其相似比为1∶．
∴＝＝，即tan ∠BAC＝．
知识点三　切线的性质
5．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝36°，则∠B的大小为(　A　)
A．27° B．32°
C．36° D．54°
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点C．连接AC，BC，求证：∠A＝∠BCD．
证明：如图，连接OC．
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∴∠ACO＋∠BCO＝90°．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°．∴∠BCO＋∠BCD＝90°．
∴∠ACO＝∠BCD．∴∠A＝∠BCD．
知识点四　切线长定理
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长为(　C　)
A．32 B．24
C．16 D．8
8．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 50 ．
9．王老师将汽车停放在地面台阶直角处，如图是其中一个轮胎与台阶的平面示意图．他测量了台阶高AB为16 cm，汽车轮胎的直径为80 cm，则轮胎与地面接触点C到台阶的距离BC是(　C　)
第9题图
A．35 cm B．33 cm
C．32 cm D．30 cm
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点．若点E的坐标是(－3，－1)，则点F的坐标是 (－3，－9) ．
第10题图
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在边BC上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)△PBD∽△DCA．
证明：(1)∵圆心O在BC上，
∴BC是⊙O的直径．∴∠BAC＝90°．
如图，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC．
∵∠DOC＝2∠DAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC．
∵PD∥BC，∴OD⊥PD．
∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC．
∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD．
∴△PBD∽△DCA．
12．如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若AB＝6，cos ∠PAB＝，求PO的长．
(1)证明：如图，连接OB．
∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，∴∠PAO＝90°．
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB．
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO(SAS)．
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，即OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切线．
(2)解：如图，设OP与AB交于点D．
∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°．
∵cos ∠PAB＝＝＝，
∴PA＝5．
∴PD＝＝＝4．
在Rt△APD和Rt△APO中，
cos ∠APD＝，cos ∠APD＝，
∴＝．∴PO＝＝．
【创新运用】
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若CD＝12，tan ∠ABC＝，求⊙O的半径．
(1)证明：如图，连接OE．
∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE．
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE．
∴∠OED＝∠CDE．∴OE∥CD．
∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°．
∴OE⊥AC．∴AC是⊙O的切线．
(2)解：如图，过点D作DF⊥AB于点F．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF．
∵CD＝12，tan ∠ABC＝，
∴BF＝＝16．
∴BD＝＝20．
∴BC＝CD＋BD＝32．
∴AC＝BC·tan ∠ABC＝24．
∴AD＝＝12．
∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD．
∴＝．∴＝＝，
解得EO＝15－3．
∴⊙O的半径为15－3．
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