18　课时分层训练(十五)　弧长及扇形面积的计算（教师版）初中数学青岛版九年级上册

课时分层训练(十五)　弧长及扇形面积的计算
知识点一　弧长的计算
1．图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线是一条圆弧如图2所示，圆弧的半径OA＝20 cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝(　B　)
A．20π cm B．10π cm
C．5π cm D．2π cm
2．已知扇形半径是9 cm，弧长为4π cm，则扇形的圆心角为(　D　)
A．20° B．40°
C．60° D．80°
3．如图，在 ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长是(　D　)
A．π B．π
C．π D．π
4．《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作．如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”．若图中的定滑轮半径为6 cm，滑轮旋转了15°，则重物甲上升了 cm．(绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留π)
知识点二　扇形面积的计算
5．圆心角为120°的扇形的弧长是6π，则此扇形的面积是(　C　)
A．12π B．24π
C．27π D．54π
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是(　C　)
A．2π B．π
C． D．
7．已知扇形的面积为24π cm2，圆心角为216°，则该扇形的弧长是 cm．
8．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 π－2 ．
9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为(　A　)
A．π B．
C．7 D．6
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心、AD长为半径画弧，交边BC于点E，连接AE，则的长为(　C　)
A． B．π
C．
11．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为(　B　)
A．π－ π－
C．π－2 π－
12．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是3 cm，则图中的三个扇形(阴影部分)的面积之和为 π cm2．
第12题图
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AC＝1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
第13题图
14．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，C为劣弧的中点，CE为⊙O的切线，交AD于点E，连接AC．
(1)求证：CE⊥AD；
(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
(1)证明：如图1，连接BF，OC．
图1
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD．
∵CE是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CE．
∵C为劣弧 的中点，
∴OC⊥BF．∴BF∥CE．∴CE⊥AD．
(2)解：如图2，连接OF，OC，CF．
图2
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°．
∵C为劣弧的中点，
∴＝．∴∠FOC＝∠BOC＝60°．
∵OF＝OC，∴∠OCF＝∠COB．
∴CF∥AB．
∴S△ACF＝S△COF．∴S阴影部分＝S扇形COF．
∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2．
∴S扇形COF＝＝π，
即阴影部分的面积为π．
【创新运用】
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD＝5，tan ∠ADB＝，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
(1)证明：如图，连接OD．
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD．
∴∠ODA＝∠BAD．∴OD∥AB．
∴∠ODC＝∠B＝90°．∴半径OD⊥BC于点D．
∴BC是⊙O的切线．
(2)解：如图，连接 OF，DE．
∵∠B＝90°，tan ∠ADB＝，
∴∠ADB＝60°．∴∠BAD＝30°．
∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°．
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°．
在 Rt△ADE 中，AD＝10，
cos ∠DAE＝＝，
∴AE＝．∴OA＝AE＝．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
∵OA＝OF，
∴△AOF 是等边三角形．∴∠AOF＝60°．
∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF．
∴S阴影＝S扇形OAF＝＝．
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