20　第3章成果展示　对圆的进一步认识（教师版）初中数学青岛版九年级上册

第3章成果展示　对圆的进一步认识
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为(　B　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，⊙O的半径为2，则PC的长为(　D　)
第2题图
A．4 B．4
C．6 D．2
3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos ∠ADC的值为(　B　)
第3题图
A．
C．
4．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是(　C　)
A．30° B．25°
C．20° D．10°
5．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5 cm，则图中弧CD的长为(结果保留π)(　A　)
A．π cm B．π cm
C．π cm D．π cm
6．随着研究不断深入，化学家发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，则∠1的度数为(　B　)
A．130°　 B．120°
C．110° D．60°
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F是切点．若∠DEF＝50°，则∠A等于(　C　)
第7题图
A．40° B．50°
C．80° D．100°
8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝100°，OA＝12，点C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是(　C　)
第8题图
A．12π＋18 B．12π＋36
C．6π＋18 D．6π＋36
9．如图，已知正方形ABCD的边长为2 cm，将正方形ABCD在直线l上顺时针连续翻转4次，则点A所经过的路径长为(　B　)
A．4π cm B．(2＋2)π cm
C．2π cm D．(4＋2)π cm
10．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于点E，连接AB交PO于点F，连接CE交AB于点D．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有(　A　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：如图，连接OA，BE．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB．故①正确．
∵PA＝PB，OA＝OB，
∴OP是AB的垂直平分线．
∴OP⊥AB．故②正确．
∵OP是AB的垂直平分线，
∴＝．∴∠ACE＝∠BCE．
∴CE平分∠ACB．故③正确．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．
∵∠BFO＝90°，∴OF∥AC．
∵OB＝OC，AF＝BF，
∴OF＝AC．故④正确．
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBE＋∠EBC＝90°．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠EBC＋∠ECB＝90°．
∴∠PBE＝∠ECB．
∵∠ECB＝∠EBA，
∴∠PBE＝∠EBA．
∵∠APE＝∠BPE，
∴E是△PAB的内心．故⑤正确．
∵AC∥OE，
∴△CDA∽△EDF．故⑥错误．
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．著名作家巴金在他的作品《海上日出》中对日出状况的描写：“果然，过了一会儿，在那个地方出现了太阳的小半边脸，红是真红，却没有亮光．”这段文字中，给我们呈现出来的直线与圆的位置关系是 相交 ．
12．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ 80° ．
第12题图
13．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN的长度始终保持不变，MN＝4，点E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 2－2 ．
第13题图
14．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为点D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 135° ．
15．如图，已知点A(2，2)，点B(2，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，2)的位置，则图中阴影部分的面积为 π ．
第15题图
16．如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是边AB上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为 2 ．
第16题图
三、解答题(本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)如图，在6×6的正方形网格中洒下M，N，O，P，Q五粒黄豆， 若以黄豆O为圆心，以为半径画圆，试判断另外四粒黄豆与⊙O的位置关系．
解：OQ＝＝，OP＝＝2，ON＝2，OM＝＝．
∵2＞，2＜，
∴黄豆P在⊙O外，黄豆Q和M在⊙O上，黄豆N在⊙O内．
18．(8分)如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，AO＝，BO＝1，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，求PB的长．
解：在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝，BO＝1，∴AB＝＝2．
如图，过点O作OD⊥AB于点D．
∴PB＝2BD，∠ODB＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B．∴△OBD∽△ABO．∴＝，
即＝，解得BD＝．∴PB＝2BD＝．
19．(10分)如图，BE是⊙O的直径，A和D是⊙O上两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．
(1)证明：连接OA，AB(图略)．
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B．
∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠OAB．
∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠OAB．
∵BE为⊙O的直径，∴∠EAB＝90°，
即∠EAO＋∠OAB＝90°．
∴∠CAE＋∠EAO＝90°．∴OA⊥AC．
∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(2)解：过点O作OF⊥AE于点F(图略)．
∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC．
∵∠EAC＋∠C＝∠AEO，
∴∠AEO＝2∠EAC．
∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO．
∴∠EAO＝2∠EAC．
∵∠EAO＋∠EAC＝90°，∴3∠EAC＝90°．
∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°．
∴△OAE是等边三角形．
∴OA＝AE，∠EOA＝60°．∴OA＝2．
∴S扇形AOE＝＝2π．
在Rt△OAF中，OF＝OA·sin ∠FAO＝2＝3，
∴S△AOE＝AE·OF＝×2×3＝3．
∴S阴影＝2π－3．
20．(10分)如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接AI并延长分别交BC和⊙O于点D，E，连接BE．
(1)求证：EB＝EI；
(2)若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
(1)证明：连接BI(图略)．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI．
∵∠CBE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CBE．
∵∠BIE＝∠ABI＋∠BAE，
∠IBE＝∠CBI＋∠CBE，
∴∠IBE＝∠BIE．∴EB＝EI．
(2)解：设AI＝x．由(1)可知EI＝EB＝2，∠BAE＝∠CBE，且∠E＝∠E,
∴△BDE∽△ABE．∴＝．
∴BE2＝ED·EA，即ED＝．
又∵∠E＝∠C，∠BAE＝∠CAE，
∴△ADC∽△ABE．∴＝．
∴AB·AC＝AD·AE，
即4×3＝(x＋2)，
解得x＝2(负值舍去)．∴AI＝2．
21．(10分)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，且DE⊥CE，连接CD，BC．
(1)求证：∠DAB＝2∠B；
(2)若tan D＝，BC＝4，求⊙O的半径．
(1)证明：如图，连接OC．
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥CE．
∵DE⊥CE，∴OC∥DE．
∴∠DAB＝∠AOC．
由圆周角定理，得∠AOC＝2∠B，
∴∠DAB＝2∠B．
(2)解：如图，连接AC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
由圆周角定理，得∠B＝∠D，
∴tan B＝tan D＝，即＝．
∵BC＝4，∴AC＝2．
由勾股定理，得
AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
22．(12分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD的延长线上，且PF＝PG．
(1)求证：PF为⊙O的切线；
(2)若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的长．
(1)证明：连接OF(图略)．
∵PF＝PG，∴∠PFG＝∠PGF．
∵∠BGE＝∠PGF，∴∠PFG＝∠BGE．
∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠B．
∵CD⊥AB，∴∠BGE＋∠B＝90°．
∴∠PFG＋∠OFB＝90°．
∴∠PFO＝90°．∴OF⊥PF．
∵OF是⊙O的半径，∴PF为⊙O的切线．
(2)解：连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为点M(图略)．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°．∴AB2＝AF2＋BF2．
∵OB＝10，∴AB＝20．
∵BF＝16，∴AF＝12．
在Rt△ABF中，tan B＝，cos B＝，
在Rt△BEG中，tan B＝＝，cos B＝＝，∴GE＝6，GB＝10．
∵BF＝16，∴FG＝6．
∵PM⊥FG，PF＝PG，∴FM＝FG＝3．
∵∠BGE＝∠PFM，∠PMF＝∠BEG＝90°，
∴△PFM∽△BGE．
∴＝，
即＝，
解得PF＝5．
∴PF的长为5．
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