26　课时分层训练(二十二)　一元二次方程根与系数的关系（教师版）初中数学青岛版九年级上册

课时分层训练(二十二)　*一元二次方程根与系数的关系
知识点一　利用根与系数的关系确定方程的根
1．若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是(　B　)
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝1 D．x＝2
2．关于x的方程2x2＋mx－4＝0的一个根为x＝1，则另一个根为 x＝－2 ．
知识点二　利用根与系数的关系求代数式的值
3．若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　A　)
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
C．x1x2＝ D．x1x2＝7
4．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0的两个根分别记为x1，x2，若x1＝－1，则的值为(　B　)
A．7 B．－7
C．6 D．－6
5．若关于x的方程x2－x－1＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为 2 ．
6．设x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，则的值为 10 ．
7．设x1与x2为一元二次方程x2＋3x＋2＝0的两个根，则(x1－x2)2的值为 20 ．
知识点三　利用根与系数的关系求字母的值
8．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且＝5，则k的值是(　D　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
9．已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋4k＝0(k≠0)的两个实数根为x1，x2．若＝3，则k＝ ．
10．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两个实数根．
(1)若x1＝1，求x2及m的值．
(2)是否存在实数m，满足(x1－1)·(x2－1)＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)根据题意，得x1＋x2＝6，
x1x2＝2m－1，Δ＝(－6)2－4(2m－1)≥0，
解得m≤5．
∵x1＝1，
∴1＋x2＝6，x2＝2m－1．
∴x2＝5，m＝3．
(2)存在．
∵(x1－1)(x2－1)＝，
∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝，
即2m－1－6＋1＝，
解得m1＝2，m2＝6．
经检验，m1＝2，m2＝6为原方程的解．
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
11．已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为(　A　)
A．0 B．－10
C．3 D．10
12．若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝2，则＋2)的值是(　B　)
A．8 B．32
C．8或32 D．16或40
13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1；小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，－4．原来的方程是(　B　)
A．x2＋2x－3＝0
B．x2＋2x－20＝0
C．x2－2x－20＝0
D．x2－2x－3＝0
14．关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论正确的是(　D　)
A．两个正根
B．两个负根
C．两根异号，且正根的绝对值较大
D．两根异号，且负根的绝对值较大
解析：∵关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)，∴x2＋x－2－p2＝0．
∴b2－4ac＝1＋8＋4p2＝9＋4p2＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为－2－p2＜0，方程的两个根的和为－1，∴一个正根，一个负根，且负根的绝对值较大．
15．若实数a，b分别满足a2－4a＋3＝0，b2－4b＋3＝0，且a≠b，则的值为 ．
16．已知实数a，b满足＋|b＋3|＝0，若关于x的一元二次方程x2－ax＋b＝0的两个实数根分别为x1，x2，则＝ － ．
17．已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
解：(1)根据题意，得Δ＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0，解得m＞．
∴实数m的取值范围为m＞．
(2)设x1，x2是方程的两根．
根据题意，得x1＋x2＝4＞0，x1x2＝－2m＋5＞0，解得m＜．
又m＞，∴m的取值范围为＜m＜．∵m为整数，∴m＝1或m＝2．
当m＝1时，方程两根都是整数；
当m＝2时，方程两根都不是整数．
∴整数m的值为1．
【创新运用】
18．x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1－x2|＝1，则将此类方程称为“差根方程”．根据差根方程的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列方程是否是差根方程：
①x2－4x－5＝0；
②2x2－2x＋1＝0．
(2)已知关于x的方程x2＋2ax＝0是差根方程，求a的值．
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a＞0)是差根方程，请探索a与b之间的数量关系．
解：(1)①设x1，x2是一元二次方程x2－4x－5＝0的两个实数根．
由题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝－5，
∴|x1－x2|＝
＝＝6．
∴方程x2－4x－5＝0不是差根方程．
②设x1，x2是一元二次方程2x2－2x＋1＝0的两个实数根．
由题意，得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝
＝＝1．
∴方程2x2－2x＋1＝0是差根方程．
(2)将x2＋2ax＝0因式分解，
得x(x＋2a)＝0，解得x1＝0，x2＝－2a．∵关于x的方程x2＋2ax＝0是差根方程，
∴|2a|＝1．∴2a＝±1，解得a＝±．
(3)设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a＞0)的两个实数根．
由题意，得x1＋x2＝－，x1x2＝．
∵关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a＞0)是差根方程，
∴|x1－x2|＝＝1，
即＝1，∴b2＝a2＋4a．
5/5