28　第4章成果展示　一元二次方程（教师版）初中数学青岛版九年级上册

第4章成果展示　一元二次方程
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　D　)
A．0 B．±3
C．3 D．－3
2．如果关于x的方程(m－3)xm2－2m－1＋mx＋1＝0是一元二次方程，那么m的值为(　A　)
A．－1 B．－1或3
C．3 D．1或－3
3．一元二次方程x2－2x－3＝p2的根的情况是(　B　)
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个负根
D．有两个正根
4．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，变形后的结果正确的是(　D　)
A．(x＋10)2＝9 B．(x＋10)2＝16
C．(x＋5)2＝9 D．(x＋5)2＝16
5．定义新运算：a*b＝a(1－b)．若a，b是方程x2－x＋m＝0(m＜1)的两根，则b*b－a*a的值为(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．与m有关
6．若a≠b，且a2－4a＋1＝0，b2－4b＋1＝0，则的值为(　B　)
A． B．1
C．4 D．3
7．若x＝3是关于x的一元二次方程x2－ax－a2＝0(a>0)的一个根，下面对a的值估计正确的是(　C　)
A．2＜a＜＜a＜2
C．1＜a＜＜a＜1
8．某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　A　)
A．20% B．25%
C．30% D．36%
9．如图，把长40 cm、宽30 cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm(纸板的厚度忽略不计)．若折成长方体盒子的表面积是950 cm2，则x的值是(　D　)
A．3 cm B．4 cm
C．4.8 cm D．5 cm
10．已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是(　C　)
A．1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
B．0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
C．1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
D．1和－1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
解析：∵关于x的一元二次方程＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，
∴
∴b＝a＋1或b＝－(a＋1)，a≠－1．
当b＝a＋1时，有a－b＋1＝0，此时－1是方程x2＋bx＋a＝0的根；
当b＝－(a＋1)时，有a＋b＋1＝0，此时1是方程x2＋bx＋a＝0的根．
∵a＋1≠0，∴a＋1≠－(a＋1)．
∴1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根．
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．若关于x的方程x2＋ax－2＝0有一个根是1，则a＝ 1 ．
12．已知方程x2－3x－4＝0的根为x1，x2，则(x1＋2)·(x2＋2)的值为 6 ．
13．我们定义＝ad－bc，如：
＝2×5－3×4＝－2．依据定义，＝ 1 ；若＝x＋10，则x＝ －10或 ．
14．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛(如图所示)，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为 2 s．(结果保留整数)
15．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现，如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1 200元，则每件衬衫应降价 10元或20元 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发，沿射线BC方向以2 cm/s的速度移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过 2或5或 s后△PBQ的面积等于5 cm2．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)解方程：
(1)(2x－1)(x＋3)＝4；
(2)2(x－3)2＝5(3－x)．
解：(1)方程整理，得2x2＋5x－7＝0，
分解因式，得(x－1)(2x＋7)＝0，
∴x－1＝0或2x＋7＝0，
解得x1＝1，x2＝－．
(2)方程整理，得2(x－3)2＋5(x－3)＝0，
分解因式，得(x－3)(2x－6＋5)＝0，
∴x－3＝0或2x－1＝0，
解得x1＝3，x2＝．
18．(8分)已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且＝6x1x2－15，求k的值．
解：(1)∵方程有两个实数根，
∴Δ＝[－(k＋1)]2－4×1×＝2k－3≥0，
解得k≥．
(2)由题知x1＋x2＝－＝k＋1，
x1x2＝＝k2＋1．
＝6x1x2－15，
∴(x1＋x2)2－8x1x2＋15＝0,
即(k＋1)2－8＋15＝0．
整理，得k2－2k－8＝0，解得k1＝4，k2＝－2．
又∵k≥，∴k＝4．
19．(10分)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2．扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用为每平方米100元．若计划总费用为642 000元，则扩充后广场的长和宽应分别为多少？
解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m．
依题意，得3x 2x 100＋30(3x 2x－50×40)＝642 000，
解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
∴3x＝90，2x＝60．
答：扩充后广场的长为90 m，宽为60 m．
20．(10分)若a2＋b2＝c2，则我们把形如ax2＋cx＋b＝0(a≠0)的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0(a≠0)必有实数根．
(1)解：当a＝3，b＝4时，得c＝±5，相应的“勾系一元二次方程”为3x2±5x＋4＝0．
(2)证明：根据题意，得Δ＝(c)2－4ab
＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0，即Δ≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0(a≠0)必有实数根．
21．(10分)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格连续两次下调，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率．
(2)小华准备到李伟处购买5 t该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
问：小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．
解：(1)设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5(1－x)2＝3.2，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去)．
答：平均每次下调的百分率是20%．
(2)小华选择方案一购买更优惠．理由如下：
方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)；
方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．
∵14 400＜15 000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
22．(12分)已知关于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0)．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0)的两个根都是整数，x1与x1＋n(n≠0)分别是关于x的方程mx2＋(3m＋1)x＋3－b＝0的两个根，求代数式＋12x1n＋5n2＋16n＋8的值．
(1)证明：由题意可知Δ＝(3m＋1)2－4m×3＝9m2－6m＋1＝(3m－1)2≥0，
∴方程有两个实数根．
(2)解：设关于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0)的两个根为a，b．
由题意，得a＋b＝－＝－3－，ab＝．
∵a与b是整数，∴与同为整数．
∵m是正整数，∴m＝1．
∴方程为x2＋4x＋3＝0．
∴x1与x1＋n(n≠0)分别是关于x的方程x2＋4x＋3－b＝0的两个根．
∴x1＋x1＋n＝－4．∴x1＝－．
∴原式＝4＋12n＋5n2＋16n＋8＝24．
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