29　专项突破提升(一)　与相似有关的典型应用（教师版）初中数学青岛版九年级上册

专项突破提升(一)　与相似有关的典型应用
类型一　经典A字型相似
1．(4分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且＝＝．下列结论正确的是(　D　)
A．DE∶BC＝1∶2
B．△ADE与△ABC的面积比为1∶3
C．△ADE与△ABC的周长比为1∶2
D．DE∥BC
2．(4分)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 15 ．
解析：∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE．∴＝．
∵AB＝4，AD＝4＋6＋10＝20，DE＝10，
∴＝．∴BF＝2．
∴GF＝6－2＝4．
∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE．
∴＝．
∵AC＝4＋6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴＝．∴CK＝5．
∴HK＝6－5＝1．
∴阴影部分的面积＝(HK＋GF)·GH＝×(1＋4)×6＝15．
类型二　经典X字型相似
3．(4分)如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为(　C　)
A． B．4
C． D．6
4．(4分)如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝(　D　)
A．
C．
5．(6分)如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，连接ED，求证：△ABC∽△ADE．
证明：∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠BEC＝∠BDC．
∵∠BOE＝∠COD，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE．
∴＝．∴＝．
∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE．
类型三　一线三等角型相似
6．(4分)如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AB＝2，DE＝4，BD＝6，C为线段BD上一点，连接AC，CE．若AC⊥CE，则BC的值为(　B　)
A．3 B．2或4
C． D．2或3
7．(12分)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P，Q分别在射线CB，AC上(点P不与点C、点B重合)，且保持∠APQ＝∠ABC．
(1)若点P在线段CB上(如图)，且BP＝6，求线段CQ的长；
(2)若CP＝x，CQ＝y，求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
　
解：(1)∵∠APQ＋∠CPQ＝∠B＋∠BAP，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∴△CPQ∽△BAP．∴＝．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，BP＝6，CP＝8－6＝2，
∴＝．∴CQ＝．
(2)分两种情况：
①若点P在线段CB上，则0由(1)知＝．
∵CP＝x，BC＝8，∴BP＝BC－CP＝8－x．
∵CQ＝y，AB＝5，
∴＝，即y＝－x2＋x．
②如图，若点P在线段CB的延长线上，则x>8．
∵∠APQ＝∠APB＋∠CPQ，∠ABC＝∠APB＋∠PAB，∠APQ＝∠ABC，
∴∠CPQ＝∠PAB．
∵∠ABP＝180°－∠ABC，∠PCQ＝180°－∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABP＝∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．
∴＝．
∵CP＝x，BP＝CP－CB＝x－8，AB＝5，CQ＝y，∴＝，即y＝x2－x(x＞8)．
综上所述，y与x之间的函数表达式为
y＝
类型四　旋转型相似
8．(4分)如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AB＝5，AC＝4．若△ABC∽△ACD，则AD＝ ．
9．(8分)如图，若∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC．求证：
(1)△ADE∽△ABC；
(2)＝．
证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE．
∴∠DAE＝∠BAC．
又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC．
(2)由(1)知△ADE∽△ABC，∴＝．
∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC．
∴＝．
类型五　共角子母型相似
10．(4分)如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B．若AD＝3，BD＝5，则AC的长为(　B　)
A． B．2
C． D．8
11．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F．求证：＝．
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°．
又∵∠CBA＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA．
∴＝，∠BAD＝∠C．
∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，
∴DE＝EC＝EA．∴∠BDF＝∠CDE＝∠C．
∴∠BDF＝∠BAD．
又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF．
∴＝．∴＝．
12．(8分)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
(1)证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC．
∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA．
(2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，
∴＝．∴＝．∴BD＝3.6．
类型六　四边形中的相似
13．(4分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E，F分别为边BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长为(　A　)
A． B．1
C．
14．(4分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G．若G是EF的中点，则BG的长为 cm．
类型七　相似三角形中的动点问题
15．(4分)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动，且MN＝1．若△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似，则DM的长为(　D　)
A．
C．或 或
类型八　平移问题中的相似
16．(4分)如图，将△ABC沿边BC向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC∶EC＝3∶1，S△ADG＝16，则S△CEG的值为 4 ．
类型九　等高三角形与相似三角形面积综合
17．(4分)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC．若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，DC，AE交于点F，则＝(　D　)
A．
C．
类型十　相似三角形的应用
18．(4分)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50 cm，EF＝30 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝20 m，则树高AB为(　D　)
A．12 m B．13.5 m
C．15 m D．16.5 m
19．(6分)小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面的点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20 m．当她与镜子的距离CE＝2.5 m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面的高度DC＝1.6 m，请你帮助小红计算出大楼AB的高度．(注：反射角＝入射角)
解：∵根据反射定律知，∠FEB＝∠FED，
∴∠BEA＝∠DEC．
∵∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△BAE∽△DCE．
∴＝．
∵CE＝2.5 m，DC＝1.6 m，AE＝20 m，
∴＝，解得AB＝12.8．
答：大楼AB的高度为12.8 m．
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