30　专项突破提升(二)　解直角三角形的基本模型（教师版）初中数学青岛版九年级上册

专项突破提升(二)　解直角三角形的基本模型
模型一　背靠背型
1．(8分)我国古代人民在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜．如图1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在图2中，AB呈水平状态，AE，CD为法线，∠BCD＝∠ACD＝41°，∠CAE＝37°，AE⊥AB，已知AB＝11 m，求镜面上点C到水盆A的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 82°≈0.99，cos 82°≈0.14，tan 82°≈7.12)
解：如图，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，则∠AFB＝∠AFC＝90°．
∵EA⊥AB, ∴∠EAB＝90°．
∵∠BCD＝∠ACD＝41°，∴∠ACB＝82°．
∵∠CAE＝37°，
∴∠CAB＝∠EAB－∠EAC＝53°．
∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝45°．
在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，
∴AF＝AB·sin 45°＝11＝11(m)．
在Rt△ACF中，∠ACB＝82°，
∴AC＝≈≈11.1(m)．
∴镜面上点C到水盆A的距离约为11.1 m．
2．(8分)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB的坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
由题意，得AF⊥BC，DE＝AF．
∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝．
∴设AF＝3x m，BF＝4x m．
在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(m)．
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20 m，
∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(m)．
∴AF＝DE＝6.2 m．∴3x＝6.2，
解得x＝．∴AB＝5x≈10.3(m)．
∴斜坡AB的长约为10.3 m．
模型二　子母型
3．(8分)如图，灯塔A周围9 km内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6 km后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6)
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
设AD＝x km．
由题意，得∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，
BC＝6 km．
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x km．
在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝，
∴BD＝≈＝6＋x，解得x＝10．
∵10＞9，
∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险．
4．(10分)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600 m高的山峰，如图所示，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°．(换乘登山缆车的时间忽略不计)
(1)求登山缆车上升的高度DE；
(2)若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．(结果精确到0.1 min．参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
解：(1)如图，过点B作BM⊥AF于点M．
由题意可知∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600 m，AB＝300 m．
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300 m，
∴BM＝AB＝150 m＝EF．
∴DE＝DF－EF＝600－150＝450(m)．
答：登山缆车上升的高度DE为450 m．
(2)在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450 m，
∴BD＝≈＝562.5(m)．
∴需要的时间t＝t步行＋t缆车＝≈19.4(min)．
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4 min．
5．(10分)某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内修建如图1所示的观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC，长为50 m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576 m，DF⊥AF，垂足为点F．(图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上)
(1)求索道AB的长；(结果精确到1 m)
(2)求水平距离AF的长．(结果精确到1 m．参考数据：sin 15°≈0.25，cos 15°≈0.96，tan 15°≈0.26，≈1.41)
解：(1)在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∠A＝15°，AE＝576 m，
∴AB＝＝≈＝600(m)，
即索道AB的长约为600 m．
(2)如图，延长BC交DF于点G．
∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°．
∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°．
∴四边形BEFG为矩形．
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°．
∵CD＝AB＝600 m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD·cos ∠DCG＝600×cos 45°＝600×＝300(m)．
∴AF＝AE＋EF＝AE＋BG＝AE＋BC＋CG＝576＋50＋300≈1 049(m)，
即水平距离AF的长约为1 049 m．
模型三　拥抱型
6．(10分)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4 m．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD的长；(结果保留根号)
(2)求旗杆CD的高度．
解：(1)∵在教学楼B处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB＝30°．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4 m，
∴AD＝＝＝4(m)，
即教学楼与旗杆的水平距离AD的长是4 m．
(2)在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，
∠CAD＝60°，AD＝4 m，
∴CD＝AD·tan 60°＝4＝12(m)，
即旗杆CD的高度是12 m．
7．(8分)如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，∠AEB＝53°，∠CED＝45°，已知BE＝60 m，ED＝20 m．求两栋楼楼顶A，C之间的距离．
解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．
在Rt△CED中，∠CED＝45°，
∴△CED是等腰直角三角形．
∴CD＝DE＝20 m．
在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，
∴tan ∠AEB＝tan 53°＝＝．
∴＝．∴AB＝80 m．
由题意，得 BF＝CD＝DE＝20 m，
CF＝BD＝BE＋ED＝80 m，
∴AF＝AB－BF＝80－20＝60(m)．
在 Rt△ACF中，AC＝＝100 m，
∴两栋楼楼顶A，C之间的距离为100 m．
模型四　其他类型
8．(8分)如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是点A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1 cm．参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°．
在Rt△ACO中，AC＝11 cm,
∴AO＝2AC＝22 cm．
由题意，得AO＝A′O＝22 cm．
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°．
∴∠OA′D＝90°－∠A′OD＝18°．
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O·cos ∠OA′D＝A′O·cos 18°≈22×0.95≈21(cm)．
∴此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为21 cm．
9．(10分)下图是某品牌篮球架示意图，立柱OA垂直于地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行于地面OB，篮筐EF与支架DE在同一条直线上，OA＝2.7 m，AD＝0.8 m，∠AGC＝32°．(参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)
(1)求∠GAC的度数．
(2)工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3 m处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
解：(1)∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°．
∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝180°－90°－32°＝58°．
(2)不能．理由如下：
如图，延长OA，FD交于点H．
∵OA⊥OB，DE∥OB，
∴OH⊥EH．∴∠AHD＝90°．
∵∠DAH＝∠GAC＝58°，
∴∠ADH＝180°－90°－58°＝32°．
∵sin ∠ADH＝≈0.53，
∴AH≈0.53×0.8＝0.424(m)．
∴OH＝AH＋OA≈0.424＋2.7＝3.124(m)．
∵篮筐EF与支架DE在同一条直线上，
∴EF与地面的距离约为3.124 m．
∵3<3.124，∴他不能挂上篮网．
10．(10分)某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB行进一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC行进600 m到达C处，通过测量数据计算出小山的高CD＝612 m．
(1)已知BE⊥CD与CD交于点E，求BE的长度；
(2)求该数学小组行进的水平距离．(结果精确到1 m．参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.92，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)
解：(1)在Rt△BCE中，BC＝600 m，∠CBE＝22°，
∴BE＝BC·cos 22°≈600×0.92＝552(m)．
(2)如图，过点B作BH⊥AD于点H，则四边形BEDH是矩形．
∴DE＝BH，BE＝DH．
在Rt△BCE中，BC＝600 m，∠CBE＝22°，
∴CE＝BC·sin 22°≈600×0.37＝222(m)．
∵DH＝BE＝552 m，CD＝612 m，
∴BH＝DE＝CD－CE＝612－222＝390(m)．
在Rt△ABH中，∠BAH＝53°，
∴tan 53°＝．∴AH≈＝300(m)．
∴AD＝AH＋DH＝300＋552＝852(m)．
答：该数学小组行进的水平距离AD约为852 m．
11．(10分)我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n＝称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．小明为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，测得BF＝36 cm，DF＝48 cm．
(1)求入射角的度数；
(2)若光线从空气射入水中的折射率n＝，求光斑移动的距离BC．
解：(1)如图，设法线为MN，则MN∥BF．
∴∠BDN＝∠DBF＝∠PDM．
∵BF＝36 cm，DF＝48 cm，
∴tan ∠DBF＝＝＝．
∵tan 53°≈，∴入射角约为53°．
(2)如图，过点D作DH⊥AB于点H．
∵n＝，α＝53°，
∴＝．∴sin β＝．
∴sin β＝＝．
设CH＝3x cm，CD＝5x cm，则 DH＝4x cm．
∴4x＝36，解得x＝9．∴CH＝27 cm．
∴BC＝BH－CH＝48－27＝21(cm)．
答：光斑移动的距离BC为21 cm．
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