31　专项突破提升(三)　圆中辅助线的引入方法与规律（教师版）初中数学青岛版九年级上册

专项突破提升(三)　圆中辅助线的引入方法与规律
类型一　添加半径，构造等腰三角形
1．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
解：如图，连接OA，OB．
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°．
在Rt△AOB中，OA2＋OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，∴2OA2＝4．
∴OA＝(负值已舍去)．∴⊙O的半径是．
类型二　遇弦添加过圆心的垂线段或圆的半径
2．(8分)如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上．若⊙O的半径为5，BP＝6，AP＝2，求OP的长度．
解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为点C．
∴AC＝BC＝AB＝×(2＋6)＝4．
在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4，
∴OC＝＝3．
在Rt△COP中，PC＝AC－AP＝4－2＝2，OC＝3，
∴OP＝＝，
即OP的长度为．
类型三　遇直径构造直径所对的圆周角
3．(8分)如图，AB为半圆O的直径，CD⊥AB于点D，求证：CD2＝AD·BD．
证明：如图，连接AC，BC．
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ADC＝90°．
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°．
∴∠A＋∠B＝90°．
∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°．
∴∠B＝∠ACD．∴△CDB∽△ADC．
∴＝．∴CD2＝AD·BD．
类型四　遇相切，过切点连圆心得半径
4．(10分)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在上，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，∠BEF＝∠CAE．
(1)求证：AE平分∠BAC；
(2)若BF＝10，EF＝20，求AC的长．
(1)证明：如图，连接OE，交BC于点G．
∵EF与⊙O相切于点E，
∴∠OEF＝90°．∴∠BEF＋∠OEB＝90°．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．
∴∠EAB＋∠OBE＝90°．
∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠BEF＝∠EAB．
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠EAB．∴AE平分∠BAC．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°．
∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO．
∵∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAE＝∠AEO．∴AC∥OE．
∴∠C＝∠OGB＝90°．∴CG＝BG．
∵OA＝OB，
∴OG是△ACB的中位线．∴AC＝2OG．
∵∠F＝∠F，∠BEF＝∠BAE，
∴△FEB∽△FAE．∴＝．
∴＝．∴AF＝40．
∴AB＝AF－BF＝40－10＝30．
∴OA＝OB＝OE＝AB＝15．
∵∠OGB＝∠OEF＝90°，
∴BC∥EF．∴＝．
∴＝，解得OG＝9．
∴AC＝2OG＝18．
类型五　作半径，证垂直或作垂直，证半径
5．(10分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC，交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长．
(1)证明：如图，连接OD．
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO．
∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD．
∴∠ADO＝∠DAE．∴OD∥AE．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∵DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°．
∵OD∥AE，∴∠ODE＝180°－∠E＝90°．
∴OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3．
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°．
∴∠ADB＝∠DFB．
∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD．
∴＝．∴BD2＝BF·BA＝2×6＝12．
∴BD＝2．
6．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径，在△ABC同侧作半圆O．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)若AB＝5，AC＝4，求半圆O的半径．
(1)证明：如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠BHO＝∠BCO＝90°．
∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OH⊥AB，
∴OH＝OC．∴AB与半圆O相切．
(2)解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3．
∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴BC是半圆O的切线．
∵AB与半圆O相切，
∴BH＝BC＝3．∴AH＝AB－BH＝5－3＝2．
∵OH⊥AB，∴∠OHA＝∠BCA＝90°．
∵∠A＝∠A，∴△OAH∽△BAC．
∴＝，即＝，
解得OH＝，即半圆O的半径是．
类型六　遇不规则的图形求面积，添线求规则图形面积的和或差
7．(8分)如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP，BP，旋转△APB到△CEB的位置．
(1)若正方形的边长是10，PB＝4，则阴影部分的面积为 21π ；
(2)若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．
解：(1)∵把△APB旋转到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB．
∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC．
如图，以点B为圆心，BP为半径画弧，交AB于点F．
∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ的面积．
∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积．
∴S阴影部分＝S扇形BAC－S扇形PBE＝＝21π．
故答案为：21π．
(2)如图，连接PE．
由(1)知△APB≌△CEB，
∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°．
∴△PBE为等腰直角三角形．
∴∠BEP＝45°，PE＝4．
∴∠PEC＝135°－45°＝90°．
∴PC＝＝＝9．
类型七　构造辅助圆
(一)定点定长作圆
8．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，求AQ的长．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4．
如图，由题意可知，点Q在以点C为圆心，CP的长为半径的⊙C上运动，连接DC并延长，分别交⊙C于点Q1，Q2．
∵D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°．
∵∠ADQ＝90°，
∴点C，D，Q在同一条直线上．
由旋转得CQ＝CP＝1．
分两种情况讨论：
当点Q在CD上位于点Q1时，
在Rt△ADQ1中，DQ1＝CD－CQ1＝1，
∴AQ1＝＝＝．
当点Q在DC的延长线上位于点Q2时，
在Rt△ADQ2中，DQ2＝CD＋CQ2＝3，
∴AQ2＝＝＝．
综上所述，当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或．
(二)定弦定角作圆
(1)直角型
9．(8分)在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．
解：如图，以BC为直径作⊙O，连接AO交⊙O于P1，P2两点，连接CP1，则AP1最小，AP2最大．
∵P1P2是⊙O的直径，∴∠P1CP2＝90°．
∵OP2＝OC，∴∠OP2C＝∠OCP2．
∵∠AP1C＝∠P1CP2＋∠OP2C＝90°＋∠OP2C，
∠ACP2＝∠ACB＋∠OCP2＝90°＋∠OCP2，
∴∠AP1C＝∠ACP2．
又∵∠P1AC＝∠CAP2，∴△P1AC∽△CAP2．
∴＝．∴AP1·AP2＝AC2．
∴AP1(AP1＋2)＝4，解得AP1＝－1＋(负值舍去)．∴AP2＝－1＋＋2＝1＋．
故线段AP的最小值和最大值分别是－1＋和1＋．
(2)非直角型
10．(10分)如图，以正方形ABCD的一边BC为边向四边形内作等腰三角形BCE，BE＝BC，过点E作EH⊥BC于点H，点P是Rt△BEH的内心，连接AP．若AB＝2，求AP的最小值．
解：如图，连接PE，PC，PB．
∵P是△EHB的内心，∠EHB＝90°，
∴∠EPB＝180°－(∠HEB＋∠HBE)＝135°．
∵BC＝BE，∠PBC＝∠PBE，PB＝PB，
∴△PBC≌△PBE．
∴∠BPC＝∠BPE＝135°．
∴点P的运动轨迹是圆弧．
以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO，连接OP，OA，则以点O为圆心，OB为半径的⊙O是点P的运动轨迹．
∵AP≤AO－OP，
∴当点O，P，A共线时，AP的值最小．
作OM⊥AB，交AB的延长线于点M．
易知OB＝，∴OM＝BM＝1．
∴OA＝＝，
∴AP的最小值为．
(三)四点共圆
11．(10分)如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，求点P的运动路径长．
解：如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD．
∴△ABD，△BCD都是等边三角形．
∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE．
在△BDF和△DAE中，
∴△BDF≌△DAE．∴∠DBF＝∠ADE．
∵∠ADE＋∠BDE＝60°，
∴∠DBF＋∠BDP＝60°．∴∠BPD＝120°．
∵∠C＝60°，∴∠C＋∠DPB＝180°．
∴B，C，D，P四点共圆．
∵BC＝CD＝BD＝3，∴OB＝OD＝3．
∵∠BOD＝2∠C＝120°，
∴点P的运动路径长为＝2π．
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