32　专项突破提升(四)　一元二次方程的解法与应用（教师版）初中数学青岛版九年级上册

专项突破提升(四)　一元二次方程的解法与应用
一、一元二次方程的解法
方法一　直接开平方法
1．(4分)方程(x－2)2－9＝0的解是 x1＝5，x2＝－1 ．
2．(8分)解方程：
(1)9x2＝25；
(2)6(x＋2)2＝48．
解：(1)9x2＝25，x2＝，
解得x1＝，x2＝－．
(2)6(x＋2)2＝48，(x＋2)2＝8，x＋2＝±2，
解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2．
方法二　配方法
3．(4分)一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为 (x－4)2＝18 ．
4．(8分)解方程：
(1)x2－6x＋8＝0；
(2)x2－4x－1＝0．
解：(1)x2－6x＋8＝0，
x2－6x＋9＝1，(x－3)2＝1，x－3＝±1．
x1＝2，x2＝4．
(2)x2－4x－1＝0，x2－4x＋4＝5，(x－2)2＝5，
x－2＝±，x＝±＋2，
x1＝2＋，x2＝2－．
方法三　公式法
5．(4分)关于x的一元二次方程2x2＋4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 2 ．
6．(8分)解方程：
(1)x2－7x＋11＝0；
(2)2x2＋5x＝x＋3．
解：(1)x2－7x＋11＝0，
∴a＝1，b＝－7，c＝11．
∴Δ＝(－7)2－4×1×11＝5＞0．∴x＝．
∴x1＝，x2＝．
(2)2x2＋5x＝x＋3，2x2＋4x－3＝0，
∴a＝2，b＝4，c＝－3．
∴Δ＝42－4×2×(－3)＝40>0．
∴x＝．
∴x1＝，x2＝．
方法四　因式分解法
7．(4分)方程x(x－3)＝x－3的根是(　D　)
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝3，x2＝1
8．(4分)一元二次方程x2＋8x－9＝0的解为 x1＝1，x2＝－9 ．
9．(12分)解方程：
(1)x(x－5)＝8(5－x)；
(2)(2x－1)2＝(x－1)2；
(3)x2－3x＋2＝0．
解：(1)x(x－5)＝8(5－x)，
移项，得x(x－5)＋8(x－5)＝0，
因式分解，得(x－5)(x＋8)＝0，
∴x－5＝0或x＋8＝0，
解得x1＝5，x2＝－8．
(2)(2x－1)2＝(x－1)2，
移项，得(2x－1)2－(x－1)2＝0，
因式分解，得(2x－1－x＋1)(2x－1＋x－1)＝0，
即x(3x－2)＝0，
∴x＝0或3x－2＝0，解得x1＝0，x2＝．
(3)x2－3x＋2＝0，
因式分解，得(x－2)(x－1)＝0，
∴x－1＝0或x－2＝0，解得x1＝1，x2＝2．
方法五　换元法
10．(12分)解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0时，我们可以将x2－1视为一个整体，设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，原方程转化为y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±．
当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解下列方程：
(1)x4－3x2－4＝0；
(2)(x2＋2x)2－(x2＋2x)－6＝0；
(3)x2＋2x＋4－5＝0．
解：(1)设y＝x2，则原方程转化为y2－3y－4＝0，
因式分解，得(y－4)(y＋1)＝0，
∴y－4＝0或y＋1＝0，
解得y1＝4，y2＝－1(不合题意，舍去)．
∴x2＝4，解得x1＝2，x2＝－2．
故原方程的解为x1＝2，x2＝－2．
(2)设y＝x2＋2x，则原方程转化为y2－y－6＝0，
因式分解，得(y－3)(y＋2)＝0，
∴y－3＝0或y＋2＝0，
解得y1＝3，y2＝－2．
当y＝3时，x2＋2x－3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1．
当y＝－2时，x2＋2x＋2＝0，无解．
故原方程的解为x1＝－3，x2＝1．
(3)设＝t(t≥0)，则有x2＋2x＝t2，
原方程可转化为t2＋4t－5＝0，
因式分解，得(t＋5)(t－1)＝0，
∴t＋5＝0或t－1＝0，解得t1＝－5，t2＝1．
当t＝－5时，＝－5，此方程无解．
当t＝1时，＝1，
则x2＋2x＝1，配方，得(x＋1)2＝2，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－．
故原方程的解为x1＝－1＋，x2＝－1－．
二、一元二次方程的应用
应用一　几何图形面积问题
11．(10分)如图，用一段80 m的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，左右两个矩形都有一个1 m的门通往中间矩形，中间的矩形有一个1 m的门通往外面，墙的最大可用长度为50 m．
(1)如果羊圈的总面积为345 m2，求边AB的长．
(2)问：羊圈的总面积能为480 m2吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
解：(1)设边AB的长为x m，则AD＝80－4x＋3＝(83－4x)m．
根据题意，得x(83－4x)＝345，
解得x1＝，x2＝15．
∵墙的最大可用长度为50 m，且当x＝时，AD＝83－4×＝60(m)，不合题意，
∴x＝15，即边AB的长为15 m．
(2)不能．理由如下：
若羊圈的总面积能为480 m2，
则 x(83－4x)＝480，
整理，得 4x2－83x＋480＝0．
∵Δ＝(－83)2－4×4×480＝－791＜0，此方程无解，
∴羊圈的总面积不能为480 m2．
应用二　销售利润问题
12．(12分)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3月、4月共生产再生纸800 t，其中4月再生纸产量比3月的2倍少100 t．
(1)求4月再生纸的产量．
(2)若4月每吨再生纸的利润为1 000元，5月再生纸产量比上月增加m%，5月每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月再生纸项目月利润达到66万元．求m的值．
(3)若4月每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月每吨再生纸的利润是多少元．
解：(1)设3月再生纸的产量为x t，则4月再生纸的产量为(2x－100)t．
依题意，得x＋2x－100＝800，解得x＝300．
2x－100＝2×300－100＝500，
即4月再生纸的产量为500 t．
(2)依题意，得1 000×500(1＋m%)＝660 000，
整理，得m2＋300m－6 400＝0，
解得m1＝20，m2＝－320(不合题意，舍去)．
故m的值为20．
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月再生纸的产量为a t．
依题意，得1 200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1 200(1＋y)·a，
∴1 200(1＋y)2＝15 00，
即6月每吨再生纸的利润是1 500元．
应用三　数字问题
13．(6分)一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，求这个两位数．
解：设个位数字为x．
由题意，得x2＋(x－2)2＝10(x－2)＋x－1，
解得x1＝5，x2＝(不合题意，舍去)．
∴这个两位数是35．
应用四　传播问题
14．(8分)冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人；
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人．
由题意，得1＋x＋(1＋x)x＝64，
解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．
故每轮传染中平均一个人传染了7人．
(2)第三轮感染的人数为64×7＝448(人)，
∴第三轮感染后，患流感的总人数为448＋64＝512(人)．
应用五　存款利息问题
15．(6分)某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1 155元，求这种存款方式的年利率．
解：设这种存款方式的年利率为x．
由题意，得[2 000(1＋x)－1 000](1＋x)＝1 155，解得x1＝－1.55(不符合题意，舍去)，x2＝0.05＝5%．
故这种存款方式的年利率为5%．
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