33　易错专题培优（教师版）初中数学青岛版九年级上册

易错专题培优
易错点一　相似三角形对应边对应不准确
1．(4分)如图，DE∥BC，且AD∶DB＝2∶1，DE＝8，则BC的长为(　D　)
第1题图
A．10 B．9
C．14 D．12
2．(4分)如图，已知AD为∠BAC的平分线，DE∥AB．如果＝，AB＝6，那么DE＝ 4 ．
第2题图
易错点二　混淆相似三角形的性质
3．(8分)如图，矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处，折痕与边BC交于点O．
(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的周长之比为1∶2，求边AB的长．
(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC．
由折叠可知∠APO＝∠B＝90°，PO＝BO，
∴∠APD＋∠CPO＝90°．
∵∠APD＋∠DAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CPO．∴△OCP∽△PDA．
(2)解：∵△OCP与△PDA的周长比为1∶2，△OCP∽△PDA，
∴AD＝2CP，DP＝2CO，AP＝2PO．
∴CP＝4．
∵PO2＝CO2＋CP2，∴(8－CO)2＝CO2＋16．
∴CO＝3．∴DP＝6．
∴CD＝CP＋DP＝4＋6＝10．∴AB＝10．
4．(8分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．
(1)求证：△BDE∽△EFC．
(2)设＝．
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
(1)证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE．
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC．
∴△BDE∽△EFC．
(2)解：①∵EF∥AB，∴＝＝．
∵EC＝BC－BE＝12－BE，
∴＝，解得BE＝4．
②∵＝，∴＝．
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC．
∴＝＝＝．
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
易错点三　位似对应点坐标多解或漏解
5．(4分)在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为 (2m，2n)或(－2m，－2n) ．
易错点四　不能正确确定位似中心
6．(4分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A(2，1)，则位似中心的坐标是 (4，2) ．
易错点五　混淆相似比和面积比
7．(4分)如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则S△ADE∶S△ABC＝(　D　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
易错点六　相似三角形中动点问题未分类讨论
8．(4分)如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是(　C　)
A．12 B．16
C．12或16 D．以上都不对
易错点七　三角比无图忘记分类讨论
9．(4分)有一等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是(　D　)
A．
C． 或
10．(4分)一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是(　D　)
A．
C． 或
11．(4分)在Rt△ABC中，若2AB＝AC，则cos C的值为 或 ．
12．(4分)在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积为 21或15 ．
易错点八　忽略锐角三角函数的取值范围
13．(6分)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若sin A是方程2x2－3x＋1＝0的根，求BC的长．
解：∵2x2－3x＋1＝0，∴(2x－1)(x－1)＝0．
∴x1＝，x2＝1．
∵sin A是方程2x2－3x＋1＝0的根，∠A为锐角，∴sin A＝．
∵sin A＝，AB＝10，∴BC＝5．
14．(6分)已知α为锐角，且tan α－＝，求sin αcos α的值．(提示：sin2α＋cos2α＝1)
解：∵tanα－＝，
∴＝＋4tan α·＝()2＋4＝25．
∵α为锐角，tan α＋＞0，
∴tan α＋＝5．
∴sin αcos α＝＝＝．
易错点九　圆中弦、弧、圆周角、圆心角考虑不全面
15．(4分)如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与点A，B重合的任意一点，则∠APB的度数为(　C　)
A．45° B．60°
C．45°或135° D．60°或120°
16．(4分)如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A，B，C的另一点，则∠ADC的度数是 60°或120° ．
17．(4分)若弦长等于半径，则弦所对的圆心角的度数是 60° ，弦所对弧的度数是 60°或300° ．
易错点十　因式分解法解一元二次方程漏解
18．(6分)解方程：(x＋1)(x－2)＝x＋1．
解：将方程两边约去(x＋1)，得x－2＝1．①
∴x＝3．②
以上解答错在第 ① 步，正确的答案是x1＝ －1 ，x2＝ 3 ．
易错点十一　求根的判别式时，忽略对二次项系数的讨论
19．(4分)已知关于x的一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是(　D　)
A．a＞1 B．a＞－2
C．a＞1且a≠0 D．a＞－1且a≠0
20．(4分)关于x的方程(k－1)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(　D　)
A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1
C．k＞ D．k≥
21．(8分)已知关于x的方程(k－1)x2＋kx＋1＝0．
(1)求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
(2)当k为何整数时，关于x的方程(k－1)x2＋kx＋1＝0有两个整数根？
(1)证明：当k＝1时，方程为一元一次方程，必有一解；
当k≠1时，方程为一元二次方程，
Δ＝k2－4(k－1)＝(k－2)2≥0，
∴一元二次方程有两个实数根．
综上所述，不论k取什么实数值，这个方程总有实数根．
(2)解：∵方程(k－1)x2＋kx＋1＝0有两个整数根，
∴方程为一元二次方程，即k≠1，
(k－1)x2＋kx＋1＝0，
解得x＝－1或x＝．
又∵k为整数及方程的两个根都为整数，
∴1－k＝1或1－k＝－1．
∴当k的值为0或2时，关于x的方程＋kx＋1＝0有两个整数根．
易错点十二　一元二次方程与三角形结合时忽略讨论三角形三边关系
22．(4分)已知x＝2是关于x的方程x2－(5＋m)x＋5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为(　B　)
A．9 B．12
C．9或12 D．6或12或15
23．(4分)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两个根，则m的值是(　A　)
A．34 B．30
C．30或34 D．30或36
24．(4分)方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 ．
25．(8分)已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3x＋8＝0．求：
(1)k的值；
(2)△ABC的周长．
解：(1)根据题意，得k≥0且(3)2－4×8≥0，解得k≥．
∵整数k＜5，∴k＝4．
(2)当k＝4时，方程变形为x2－6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8＝0，
∴△ABC的边长为2，2，2或4，4，4或4，4，2．
∴△ABC的周长为6或12或10．
26．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4＝0．
(1)判断这个一元二次方程的根的情况；
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
解：(1)∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×4＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0，
∴这个一元二次方程有两个实数根．
(2)分两种情况：
①当3为底边长时，Δ＝(2k－3)2＝0，∴k＝．
此时原方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2．
∵2，2，3能组成三角形，
∴三角形的周长为2＋2＋3＝7．
②当3为腰长时，将x＝3代入原方程，得9－3×(2k＋1)＋4＝0，解得k＝2．
此时原方程为x2－5x＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
∵2，3，3能组成三角形，
∴三角形的周长为2＋3＋3＝8．
综上所述，这个等腰三角形的周长为7或8．
7/7