34　思想方法集锦（教师版）初中数学青岛版九年级上册

思想方法集锦
方法一　数形结合思想
1．(6分)在平面直角坐标系中，直线y＝3x与x轴的夹角为α，求α的正弦值和余弦值．
解：如图，在直线y＝3x上任取一点P(不与点O重合)，过点P作PA⊥x轴于点A．
设点P的横坐标为a(a≠0)，则该点的纵坐标为3a．
在Rt△PAO中，OA＝|a|，AP＝3|a|，
由勾股定理，得OP＝＝|a|，
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝．
2．(8分)解方程x2＋2x－35＝0时，如图，将一个边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的矩形，拼合在一起的面积是x2＋2×x×1＋1×1，即x2＋2x＋1．而由原方程x2＋2x－35＝0变形，得x2＋2x＋1＝35＋1，即边长为x＋1的正方形的面积为36，所以(x＋1)2＝36，则x＝5(负值已舍去)．
请回答下列问题：
(1)上述求解过程中所用的方法是 C ．
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
(2)所用的数学思想方法是 B ．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
(3)运用上述方法构造出符合方程x2＋6x－7＝0的一个正根的正方形，并求出正根．
解：(3)如图，将一个边长为x的正方形和边长为3的正方形，外加两个长为3、宽为x的矩形，拼合在一起的面积就是x2＋6x＋3×3，即x2＋6x＋9．
原方程x2＋6x－7＝0变形，得x2＋6x＋9＝16，
即图中边长为x＋3的正方形的面积为16．
∴(x＋3)2＝16，即x＋3＝±4，
解得x＝1或x＝－7(舍去)．
方法二　分类讨论思想
3．(7分)如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为∠A，求tan A的值．
解：∵x2－4x＋3＝0，
∴(x－1)(x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝3．
方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为∠A，依题意画图如下．
当BC＝1，AC＝3时，tan A＝＝．
当BC＝1，BA＝3时，AC＝2，
∴tan A＝＝＝．
综上所述，tan A的值为或．
4．(7分)已知AB和AC是⊙O的两条弦，∠BAC＝57°，M，N分别是AB，AC的中点，求∠MON的度数．
解：∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC．
如图1，当AB，AC在圆心异侧时，连接OM，ON．
图1
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°．
∴∠MON＝360°－90°－90°－57°＝123°．
如图2，当AB，AC在圆心同侧时，连接OM，ON．
图2
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴∠AMD＝∠OND＝90°．
∵∠ADM＝∠ODN，
∴∠MON＝∠BAC＝57°．
综上所述，∠MON的度数为123°或57°．
5．(10分)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1，P是线段DE上一点，且PD＝DE，过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，求GH的长．
解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC为直角三角形．
如图1，当点D位于点C左侧时，设直线l交BE于点M．
图1
∵l∥BC，∴＝，∠MGB＝∠ABC．
∵四边形ABEF是正方形，PD1＝D1E，
∴BE＝AB＝5，∠EBA＝90°，
即＝，解得BM＝．
∵∠MGB＝∠ABC，∠MBA＝∠ACB＝90°，
∴△GBM∽△BCA．∴＝．
∴＝，解得GB＝．∴AG＝AB－GB＝．
∵l∥BC，∴△AGH∽△ABD1．∴＝．
∵CD1＝1，∴BD1＝BC－CD1＝3．
∴＝，解得GH＝．
如图2，当点D位于点C右侧时，
图2
BD2＝BC＋CD2＝5，
同理可得＝，解得GH＝．
综上所述，GH的长为或．
方法三　方程思想
6．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若b2＝ac，则sin A的值为 ．
7．(4分)如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6 m，车头FACD可近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，盲区EB的长度是6 m，则车宽FA的长度为 m．
　
解析：如图，过点P作PM⊥BE于点M，交FA于点N．
∵FA∥BE，∴∠PAF＝∠PBE，∠PFA＝∠PEB．
∴△PAF∽△PBE．∴＝．
设DF＝2k，则AF＝3k，PN＝1.6－2k．
∴＝，解得k＝．
∴AF＝．
8．(8分)几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于游客参观，建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A，B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD(如图所示)，使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20 m到达点E，即BE＝20 m，测得∠AEB＝β，已知sin α＝，tan β＝3，求A，B两点间的距离．
解：如图，过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFB＝90°．
在Rt△ABF中，sin α＝＝，
∴设AF＝24x m，AB＝25x m．
由勾股定理，得BF＝＝＝7x(m)．
在Rt△AFE中，tan β＝＝3，
∴＝3，解得x＝20．
∴AB＝25x＝25×20＝500(m)，
即A，B两点间的距离为500 m．
9．(10分)如图，AB是⊙O的直径，C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
(1)证明：∵C是的中点，∴＝．
∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
∴＝．∴＝．∴CD＝BF．
在△BFG和△CDG中，
∴△BFG≌△CDG．
(2)解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r．
在Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2，
即BD2＝(2r)2－22．
在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，
即EF2＝r2－(r－2)2．
∵＝＝，∴＝．∴BD＝CF．
∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，
即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，
解得r1＝3，r2＝1(不符合题意，舍去)．
∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12．
∴BF＝2．
10．(10分)下图是2024年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题：
(1)若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，求最小数；若不能，请说明理由．
解：(1)设最小数是x，则最大数是x＋8．
根据题意，得x(x＋8)＝180，
解得x1＝10，x2＝－18(不符合题意，舍去)，
即最小数是10．
(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．理由如下：
假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是y，则另外三个数分别是y＋1，y＋7，y＋8．
根据题意，得y(y＋8)＋y＋y＋1＋y＋7＋y＋8＝124，
解得y1＝6，y2＝－18(不符合题意，舍去)．
∵y＝6在最后一列，
∴假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
方法四　转化思想
11．(4分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos ∠BDE的值为(　A　)
A．
C．
12．(10分)如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连接BC，CD．
(1)求证：CD∥AB；
(2)若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
(1)证明：∵＝，∴∠ACD＝∠DBA．
∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD．∴CD∥AB．
(2)解：如图，连接OD，过点D作DE⊥AB，垂足为点E．
∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°．
∴∠BOD＝180°－∠AOD＝120°．
∴S扇形BOD＝＝＝π．
在Rt△ODE中，DE＝sin 60°·OD＝×2＝，
∴S△BOD＝OB·DE＝×2×＝．
∴S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝π－．
13．(12分)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20 km到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．
(1)∠AMB＝ 30° ，∠BCM＝ 45° ；(填度数)
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离；(结果保留根号)
(3)求港口C与灯塔M之间的距离．(结果保留根号)
解：(2)如图，过点M作ME⊥AB，垂足为点E．
∵∠A＝∠AMB，
∴AB＝BM＝20 km．
在Rt△EBM中，sin ∠EBM＝，
∴EM＝sin ∠EBM·BM＝sin 60°×20＝×20＝10(km)．
故灯塔M到轮船航线AB的距离为10 km．
(3)如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB，CM都是正北方向，∴四边形DEMC是矩形．
∴CD＝EM＝10 km，DE＝CM．
在Rt△CDB中，∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠DCB．
∴DB＝DC＝10 km．
在Rt△EMB中，cos ∠EBM＝，
∴EB＝cos ∠EBM·BM＝cos 60°×20＝×20＝10(km)．
∴CM＝DE＝DB－EB＝10－10＝10(－1)km．
故港口C与灯塔M之间的距离为10(－1)km．
方法五　割补法
14．(4分)如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E，以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
解析：如图，连接BE，EF．
由题意，得BE＝BC＝2．
由勾股定理，得AE＝＝1，
∴sin ∠ABE＝＝．
∴∠ABE＝30°．∴∠CBE＝60°．
∴S阴影＝S扇形EBC＋S△ABE－S扇形EAF＝×1×＝．
15．(4分)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A′B′C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为 ．
解析：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C．
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．
∴线段AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′＋S△ABC－S扇形BCB′－S△A′B′C
＝S扇形ACA′－S扇形BCB′
＝＝．
方法六　等积变换法
16．(4分)如图，在半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为(　A　)
A．10π B．9π
C．8π D．6π
解析：如图，连接OC．
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形．∴CD∥OE．
∴∠DEO＝∠CDE＝36°．
由矩形CDOE易证△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°．
∴S阴影＝S扇形OBC＝＝10π．
∴图中阴影部分的面积为10π．
17．(4分)如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以点F，C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E，A，D，B，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 π ．
解析：如图，连接EB，AD，设⊙O的半径为r．
∵⊙O的面积S＝πr2，弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S△EDO＋S△ABO．
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，
∴△EDO和△AOB是等边三角形．
∴阴影部分的面积＝×r×r×2＝r2．
∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为π．
方法七　容斥原理法
18．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，分别以点A，B为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是 ．
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝，
∴∠B＝60°，BC＝tan 30°·AC＝1．
∴阴影部分的面积S＝S扇形BCE＋S扇形ACD－S△ACB＝×1×＝．
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