35　素养考向集训（教师版）初中数学青岛版九年级上册

素养考向集训
考向一　抽象能力
1．(4分)川剧变脸是我国非物质文化遗产之一，是川剧表演艺术中重要的组成部分．下列选项中的脸谱图案与如图所示的脸谱图案是相似图形的是(　C　)
2．(4分)如图，△DEF是△ABC位似图形的几种画法中，正确的个数是(　A　)
　
　
A．4 B．3
C．2 D．1
3．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则下列三角函数值正确的是(　A　)
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．tan B＝
4．(4分)⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则下列选项中能反映直线l与⊙O位置关系的图形的是(　D　)
5．(4分)若关于x的方程(m＋1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则m的值是 1 ．
6．(6分)计算：
(1)sin 30°＋2cos 60°·tan 60°－sin245°；
(2)cos245°＋sin60°·tan 30°－．
解：(1)原式＝＋2×＝．
(2)原式＝＋＝＝1－1＋＝．
考向二　推理能力
7．(6分)已知关于x的方程x2－(2m＋2)x＋m2＋2m＝0．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为x＝1，求m的值．
(1)证明：∵Δ＝[－(2m＋2)]2－4×1×(m2＋2m)＝4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：∵方程有一个根为x＝1，
∴12－(2m＋2)×1＋m2＋2m＝0，
即m2－1＝0，解得m＝±1．
8．(6分)已知代数式x2＋y2－2x－4y＋16，用配方法说明无论x，y取何值，此代数式的值总为正数．
解：x2＋y2－2x－4y＋16＝x2－2x＋1＋y2－4y＋4＋11＝(x－1)2＋(y－2)2＋11．
∵(x－1)2≥0，(y－2)2≥0，
∴(x－1)2＋(y－2)2＋11＞0．
∴无论x，y取何值，代数式x2＋y2－2x－4y＋16的值总为正数．
9．(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB．求证：
(1)AE＝AF；
(2)△CAF∽△BFQ．
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵CF＝BE，∴CE＝BF．
在△ACE和△ABF中，
∴△ACE≌△ABF．∴AE＝AF．
(2)由(1)知AE＝AF．
∵AE2＝AQ·AB，
∴AF2＝AQ·AB．∴＝．
∵∠FAQ＝∠BAF，∴△AFQ∽△ABF．
∴∠AQF＝∠AFB．∴∠BQF＝∠AFE．
∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ．
10．(10分)如图，AB是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，连接AC，AD，使得AB2＝BD·BC．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若E是的中点，AE与BC交于点F，求证：CA＝CF．
证明：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AB2＝BD·BC，∴＝．
∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．
∴∠ADB＝∠CAB＝90°．∴AC⊥AB．
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵∠ADB＝∠CAB＝90°，∴∠CAD＝∠B．
∵E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE．
∴∠CAF＝∠CAD＋∠DAE＝∠B＋∠BAF＝∠AFC．∴CA＝CF．
考向三　运算能力
11．(4分)已知锐角α满足tan (α＋25°)＝1，则锐角α的度数为(　B　)
A．15° B．20°
C．25° D．30°
12．(4分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OA′B′位似，原点O为位似中心，点A，B的坐标分别为(－3，1)，(－1，4)．当点B′的纵坐标是－2时，△OAB与△OA′B′的面积比是(　C　)
A．3∶2 B．3∶1
C．4∶1 D．2∶1
13．(4分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，Q是的中点，则∠CPQ的度数为(　B　)
A．30° B．45°
C．36° D．60°
14．(6分)解方程：
(1)5x＋4＝x(5x＋4)；(用因式分解法)
(2)2x2－9x＋8＝0．(用公式法)
解：(1)移项，得x(5x＋4)－(5x＋4)＝0，
因式分解，得(5x＋4)(x－1)＝0，
即5x＋4＝0或x－1＝0，
解得x1＝－，x2＝1．
(2)∵a＝2，b＝－9，c＝8，
∴b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝17＞0．
∴x＝，
即x1＝，x2＝．
15．(6分)如图，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1∶2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积．
解：∵△ADE和△ABC的相似比是1∶2，
∴＝＝．
∵△ADE的面积是1，∴S△ABC＝4S△ADE＝4．
∴S四边形DBCE＝S△ABC－S△ADE＝4－1＝3．
16．(8分)关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
解：(1)a＝1，b＝2，c＝3－k，b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k．
∵有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k＞0，解得k＞2．
(2)∵方程的两个根为α，β，
∴αβ＝＝3－k．∴k2＝3－k＋3k，
解得k1＝3，k2＝－1(不符合题意，舍去)．
∴k的值为3．
考向四　模型观念
17．(6分)某头盔品牌厂商在各大电商平台共有100个网店，一个网店平均每月销售1 000个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，调查发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加15.2%，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？
解：设应多开x个网店．
根据题意，得(1 000－2x)(100＋x)＝100×1 000×(1＋15.2%)，
解得x1＝20，x2＝380．
∵网店越多，运营成本越多，要尽可能减少运营成本，
∴x＝20，即应多开20个网店．
18．(10分)如图，在等边三角形ABC中，P是边BC上一动点(点P不与端点B，C重合)，作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E，PD交边AB于点D．
(1)求证：△BPD∽△CEP；
(2)若AB＝6，BD＝2，CP∶BP＝1∶5，求CE的长．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．∴∠BDP＋∠BPD＝120°．
∵∠DPE＝60°，∴∠CPE＋∠BPD＝120°．
∴∠BDP＝∠CPE．∴△BPD∽△CEP．
(2)解：∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
CP∶BP＝1∶5，∴CP＝1，BP＝5．
∵△BPD∽△CEP，∴＝．
∴＝．∴CE＝．
考向五　几何直观
19．(8分)如图，网格中每个小正方形的边长均是1，点O、线段AB的端点均在格点上，根据下列要求画图：
(1)以点O为位似中心，在网格中把线段AB按相似比2∶1放大，得线段A′B′；
(2)在网格中以(1)中的A′B′为边画Rt△A′B′C，其中点C在格点上，∠B′A′C＝90°，且tan ∠A′CB′＝．
解：(1)如图，线段A′B′即为所求．
(2)如图，Rt△A′B′C即为所求．
考向六　应用意识
20．(10分)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个 2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．
根据题意，得x(72－2x)＝640，
解得x1＝16，x2＝20．
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)．
故当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为的羊圈．
(2)不能．理由如下：
由题意，得x(72－2x)＝650，
化简，得 x2－36x＋325＝0．
∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650 m2．
21．(8分)为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家想知道纪念碑CD的高，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点A处用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在点B处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35 m，测角仪的高度是1.5 m(点A，B，C在同一条直线上)．根据以上数据，求烈士纪念碑CD的高．(结果保留一位小数．参考数据：≈1.732)
解：由题意，得AM＝BN＝CE＝1.5 m，
AB＝MN＝35 m，∠DEM＝90°，
∠DNE＝60°，∠DME＝30°．
∵∠DNE是△DMN的外角，
∴∠MDN＝∠DNE－∠DMN＝30°．
∴∠DMN＝∠MDN＝30°．
∴DN＝MN＝35 m．
在Rt△DNE中，DE＝DN·sin 60°＝35×＝(m)，
∴DC＝DE＋CE＝＋1.5≈＋1.5≈31.8(m)．
故烈士纪念碑CD的高约为31.8 m．
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