36　综合质量评价(二)（教师版）初中数学青岛版九年级上册

综合质量评价(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题　共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．在△ABC中，若cos A＝，tan B＝，则这个三角形一定是(　A　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．若x2m-1＋10x＋m＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为(　C　)
A．2 B．
C． D．无法确定
3．如图，虚线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形一定相似的是(　A　)
A　 　　B　　 　 　C　　 　 D
4．某市2023年人均可支配收入为2.36万元，2023年达到2.7万元．若2023年至2025年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是(　B　)
A．2.7(1＋x)2＝2.36
B．2.36(1＋x)2＝2.7
C．2.7(1－x)2＝2.36
D．2.36(1－x)2＝2.7
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，将△ABC绕点C逆时针方向旋转得到△DEC，当点D落在边BC上时，ED的延长线恰好经过点A，则AD的长为(　C　)
第5题图
A．1 B．
C．－1＋
6．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO＝α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60 cm．若AO＝100 cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是(　A　)
第6题图
A．(60＋100sin α)cm
B．(60＋100cos α)cm
C．(60＋100tan α)cm
D．都不对
7．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F．若AC＝2，CE＝3，则＝(　B　)
A．
C．
8．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是(　B　)
A．∠A＝∠D，∠B＝∠F
B．＝且∠B＝∠D
C．＝＝
D．＝且∠A＝∠D
9．如图，水平地面上有一面积为30π cm2的灰色扇形OAB，其中OA＝6 cm，且OA垂直于地面．将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是(　A　)
A．10π cm B．20π cm
C．24π cm D．30π cm
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径．若AD＝10，AC＝8，则cos B等于(　D　)
第10题图
A．
C．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(4，0)，点B(0，4)，⊙O的半径为2，点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，点Q为切点，则切线PQ长的最小值为(　C　)
第11题图
A． B．2－1
C．2 D．3
12．关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为(　A　)
A．－1 B．－4
C．－4或1 D．－1或4
第Ⅱ卷(非选择题　共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a＝ －1 ．
14．设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝ 2 ．
15．如图，有6个大小相同的小正方形，恰好放置在△ABC中，则tan B的值等于 ．
解析：如图．
依题意，得FH∥BC，EH＝1，FH＝2，
∴∠B＝∠EFH．
∴tan B＝tan ∠EFH＝＝．
16．如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝40°，则∠A＝ 100° ．(填度数)
第16题图
17．如图，一个矩形广场的长为90 m，宽为60 m，广场内有两横、两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似．如果两条横向小路的宽均为1.2 m，那么每条纵向小路的宽为 1.8 m．
第17题图
18．已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为 60°或120° ．
三、解答题(本大题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(6分)计算：
(1)cos 45°－2sin 60°＋3tan 30°；
(2)2cos245°－1＋tan30°tan 60°；
(3)(sin 30°＋cos 30°)2－tan 60°．
解：(1)原式＝－2×＋3×＝＝．
(2)原式＝2×－1＋＝2×－1＋1＝1－1＋1＝1．
(3)原式＝－＝－＝＝＝＝．
20．(8分)如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长，交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG．求证：
(1)AG＝CG；
(2)AG2＝GE·GF．
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB．
在△ADG和△CDG中，
∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴AG＝CG．
(2)∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG＝∠GCD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD．
∴∠F＝∠GCD．∴∠EAG＝∠F．
∵∠AGE＝∠FGA，
∴△AEG∽△FAG．∴＝．
∴AG2＝GE·GF．
21．(8分)如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8 km，求A，B两点间的距离．(结果精确到1 km．参考数据：≈1.4，≈1.7)
解：过点C作CD⊥AB于点D(图略)．
在Rt△ACD中，CD＝AC·sin ∠CAB＝8×＝4(km)，
AD＝AC·cos ∠CAB＝8×＝4(km)．
在Rt△CDB中，∠CBA＝45°，
∴CD＝BD＝4 km．
∴AB＝AD＋BD＝4＋4≈11(km)．
答：A，B两点间的距离约为11 km．
22．(10分)端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是22元/千克．
小李：当售价为38元/千克时，每天可售出160 kg；若售价每降低3元，每天的销售量将增加120 kg．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的售价为每千克多少元．
解：设每千克降低x元．
由题意，得(38－x－22)＝3 640，
整理，得x2－12x＋27＝0，
解得x1＝3，x2＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9．
∴售价为38－9＝29(元/千克)．
答：这种水果的售价为每千克29元．
23．(10分)已知关于x的方程(1－2k)x2－2(k＋1)x－k＝0有实数根．
(1)若方程只有一个实数根，求出这个根；
(2)若方程有两个不相等的实数根x1，x2，且＝－6，求k的值．
解：(1)①若1－2k＝0，即当k＝时，
方程为－2×x－＝0，解得x＝－．
②若1－2k≠0，即当k≠时，方程为一元二次方程，由方程只有一个实数根，可得Δ＝4(k＋1)2－4(1－2k)×＝0，解得k＝－．
此时方程为x2－x＋＝0，
解得x1＝x2＝．
故当k＝时，方程的根为－；当k＝－时，方程的根为．
(2)∵方程有两个不相等的实根，
∴Δ＝4(k＋1)2－4(1－2k)×>0，
解得k＞－．
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝，x1x2＝－．
∵＝－6，即＝－6，
∴＝．
∵1－2k≠0，∴2(k＋1)＝3k，解得k＝2．
24．(12分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(1，－2)，C(3，－1)，P(m，n)是△ABC的边AB上一点．
(1)画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于点O中心对称，并写出点A，P的对应点A1，P1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画出将△A1B1C1扩大到原来的2倍后的△A2B2C2，并分别写出点A1，P1的对应点A2，P2的坐标．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
A1(－2，－1)，P1(－m，－n)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
A2(－4，－2)，P2(－2m，－2n)．
25．(12分)如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点C测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上点C、屋檐上点E、屋顶上点A恰好共线．继续向房屋方向走8 m到达点D时，又测得屋檐点E的仰角为60°．已知房屋的顶层横梁EF＝12 m，EF∥CB，AB交EF于点G，点C，D，B在同一水平直线上．(参考数据：sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，≈1.7)
求：(1)屋顶到横梁的距离AG；
(2)房屋的高AB．(结果精确到1 m)
解：(1)∵房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，且EF∥BC，EF＝12 m，
∴AG⊥EF，EG＝EF＝6 m，∠AEG＝∠ACB＝35°．
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°．
∵tan ∠AEG＝tan 35°＝＝≈0.7，
∴AG＝6×0.7＝4.2(m)．
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2 m．
(2)如图，过点E作EH⊥CB于点H．
设EH＝x m．
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°．
∵tan ∠EDH＝＝＝，∴DH＝．
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°．
∵tan ∠ECH＝＝≈0.7，∴CH＝．
∵CH－DH＝CD＝8，
∴＝8，解得x≈9.52．
∴AB＝BG＋AG＝9.52＋4.2≈14(m)．
答：房屋的高AB约为14 m．
26．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O 为圆心、OE的长为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．
(1)求证：△ECD∽△ABE；
(2)求证：⊙O与AD相切；
(3)若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
(1)证明：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°．
∴∠DEC＋∠AEB＝90°．
∵∠C＝90°，∴∠CDE＋∠DEC＝90°．
∴∠AEB＝∠CDE．
∵∠B＝∠C，∴△ECD∽△ABE．
(2)证明：延长DE，AB交于点P，过点O作OH⊥AD于点H(图略)．
∵点E为BC的中点，∴CE＝BE．
在△DCE和△PBE中，
∴△DCE≌△PBE(ASA)．∴DE＝PE．
∵AE⊥DE，∴AE垂直平分DP．
∴AD＝AP．∴∠DAO＝∠GAO．
∵OH⊥AD，OG⊥AB，∴OH＝OG．
∵OG为⊙O的半径，∴OH为⊙O的半径．
∴⊙O与AD相切．
(3)解：连接OF(图略)．
在Rt△ABE中，BE＝BC＝3，AB＝3，
∴tan ∠AEB＝＝＝．∴∠AEB＝60°．
∴△OEF是等边三角形，∠EAB＝30°．
∴AE＝2BE＝6．
设⊙O的半径为r，∴AO＝2OG．
∴6－r＝2r．∴r＝2．∴OE＝EF＝2．
∵BE＝3，∴BF＝BE－EF＝1．
在Rt△AOG中，AG＝＝2，
∴GB＝AB－AG＝．
∵∠GOF＝180°－∠EOF－∠AOG＝60°，
∴S阴影＝×(1＋2)×
＝．
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