06　课时分层训练(五)　锐角三角比（教师版）初中数学青岛版九年级上册

课时分层训练(五)　锐角三角比
知识点一　正弦的定义
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是(　A　)
A．
C．
2．把△ABC三边的长度都缩小为原来的，则锐角A的正弦值(　A　)
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝2，则AC＝ 4 ．
知识点二　余弦的定义
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos A的值为(　D　)
A．
C．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为 8 ．
知识点三　正切的定义
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠B的正切值为(　B　)
A．3 B．
C．
7．如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为(，1)，则tan β等于(　C　)
第7题图
A．
C．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，那么tan A＝ ．
9．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点处，则tan B的值为 1 ．
第9题图
知识点四　锐角三角比
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下面四个等式一定成立的是(　B　)
A．c＝b·sin B B．a＝c·cos B
C．a＝b·tan B D．b＝c·tan B
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝9，求AC的长和sin A的值．
解：在Rt△ACB中，BC＝9，
∴tan A＝＝．∴AC＝12．
∴AB＝＝＝15．
∴sin A＝＝．
12．如图，A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tan α的值，错误的是(　C　)
第12题图
A．　 B．　 C．　 D．
13．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ABC的顶点均在格点上，点D也在格点上，连接AD，则下列四个选项中，错误的是(　D　)
第13题图
A．sin C＝cos C
B．tan B＝2
C．sin ∠BAD＝cos B
D．tan C＝
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tan B＝ ．
15．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，tan B＝cos ∠DAC．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．
(1)证明：∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵tan B＝cos ∠DAC，
∴＝．∴AC＝BD．
(2)解：设AC＝BD＝x，
∴CD＝BC－BD＝12－x．
∵sin C＝，∴cos C＝，tan C＝．
∴＝，＝，即＝，
解得x＝．∴CD＝12－x＝．
∴AD＝CD＝＝8．
∴S△ABC＝BC·AD＝×12×8＝48．
【创新运用】
16．[实践探究]
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan ∠BAC的值．小邕想构造包含∠BAC的直角三角形，他的思路是延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，可得∠D＝∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值．请按小邕的思路求tan ∠BAC 的值．
[拓展延伸]
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝，求tan 2∠A的值．
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝＝．
由作图可知AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD．∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD＋AC＝＋2．
∴tan ∠BAC＝tan D＝＝－2．
(2)如图，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，则AE＝BE，∠A＝∠ABE，∠BEC＝2∠A．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝，
∴BC＝1，AB＝＝．
设AE＝BE＝x，则EC＝3－x．
在Rt△EBC中，x2＝(3－x)2＋1，
解得x＝，
即AE＝BE＝，EC＝．
∴tan 2∠A＝tan ∠BEC＝＝．
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