09　课时分层训练(八)　解直角三角形（教师版）初中数学青岛版九年级上册

课时分层训练(八)　解直角三角形
知识点一　已知两边解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为 ．
2．解直角三角形：
(1)∠C＝90°，AB＝5，BC＝5；
(2)∠C＝90°，AC＝，BC＝．
解：(1)∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝5，
∴AC＝＝＝5，
sin A＝＝＝．
∴∠A＝45°．∴∠B＝90°－∠A＝45°．
(2)∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴AB＝＝＝2，tan A＝＝＝．
∴∠A＝60°．∴∠B＝90°－∠A＝30°．
知识点二　已知一边及一锐角解直角三角形
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，则BC的长约为 8.0 ．(结果精确到0.1．参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
4．如图，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝3，CD＝2，∠A＝30°．求：
(1)AB和AD的长；
(2)cos C的值．
解：(1)在△ABC中，BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ADB中，BD＝3，∠A＝30°，
∴AB＝2BD＝6．
∴AD＝＝＝3．
(2)在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝3，CD＝2，
由勾股定理，得BC＝＝．
∴cos C＝＝＝．
知识点三　已知一边及一锐角的三角比解直角三角形
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，则BC的长为(　D　)
A．3 B．4
C．6 D．8
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin B＝．求AC的长及∠A的正切值．
解：在Rt△ABC中，sin B＝＝，AB＝13，
∴AC＝5．
∴BC＝＝＝12．
∴tan A＝＝．
知识点四　解非直角三角形
7．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为(　B　)
第7题图
A．
C． D．2
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，则sin ∠ACB＝ ．
第8题图
知识点五　解非直角三角形与相似三角形的综合应用
9．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC．若tan ∠ADB＝，则tan ∠CAD的值为(　B　)
A．
C．
10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为(　D　)
A．2 B．3
C．2＋ D．2－
11．如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝6 m．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1 m，则地毯的面积至少需要(　B　)
A．m2 B．(6tan α＋6)m2
C． m2 D． m2
12．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为(　A　)
A．
C．
13．在△ABC中，AB＝，AC＝，tan C＝，则∠B的度数为 45°或135° ．
14．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm．若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 (2＋2) cm．
15．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC＝120°，BC＝14，AD＝3，求DC的长．
解：如图，延长BA，CD交于点E．
∵在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC＝120°，BC＝14，AD＝3，
∴∠B＝60°．∴∠BEC＝90°－∠B＝30°．
∴BE＝2BC＝28，DE＝2AD＝6．
∴CE＝＝＝14．
∴CD＝CE－DE＝14－6，
即DC的长为14－6．
16．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝2，求：
(1)BC的长；
(2)sin ∠ADC的值．
解：(1)如图，过点A作AE⊥DC，垂足为点E．
在Rt△AEC中，cos C＝，AC＝2，
∴EC＝AC·cos C＝2＝2．
∴AE＝＝＝2．
在Rt△ABE中，tan B＝，
∴BE＝＝＝4．
∴BC＝BE＋EC＝4＋2＝6．
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝BC＝3．
∴DE＝BE－BD＝4－3＝1．
在Rt△AED中，AE＝2，
∴AD＝＝＝．
∴sin ∠ADC＝＝＝．
【创新运用】
17．阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．同理，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角正对(sad)．如图1，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作“sad A”，这时sad A＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：
(1)如图2，利用等腰直角三角形计算：sad 90°＝ ；
(2)如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，若sin A＝，求sad A的值．
解：(2)如图，过点B作AC的垂线，垂足为点M．
∵AB＝5，sin A＝，
∴＝．∴BM＝4．
在Rt△ABM中，AM＝＝3，
∴CM＝5－3＝2．
在Rt△BCM中，BC＝＝2，
∴sad A＝＝．
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