10　课时分层训练(九)　解直角三角形的应用（教师版）初中数学青岛版九年级上册

课时分层训练(九)　解直角三角形的应用
知识点一　仰角、俯角问题
1．如图，航拍无人机从A处看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(　B　)
A．140 m B．160 m
C．180 m D．200 m
知识点二　方位角问题
2．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60 n mile/h的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(　C　)
A．15 n mile B．30 n mile
C．30 n mile D．30 n mile
3．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20 n mile到达码头C．求货轮从A到B航行的距离．(结果精确到0.1 n mile．参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D．
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，
则∠C＝180°－30°－30°－70°＝50°．
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20 n mile，
∴BD＝BC·sin 50°≈20×0.766＝15.32(n mile)．
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32 n mile，
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6(n mile)．
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6 n mile．
知识点三　坡度、坡角问题
4．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，迎水坡AB的坡角∠ABC＝45°，背水坡CD的坡比为1∶，斜坡AB的长为8 m，则背水坡CD的长为(　D　)
A．6 m B．8 m
C．4 m D．8 m
5．下图是滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知斜坡AB的坡比接近3∶4，坡长AB为n m，则坡AB的铅垂高度AH约为 m．
6．如图，斜坡BC的长度为4 m．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平方向向外移动4 m到点A，使得斜坡AB的长度为4 m，则原来斜坡的水平距离CD的长度是(　A　)
A．2 m B．4 m
C．2 m D．6 m
7．在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60 m(CD＝60 m)到D处有一平台，在高2 m(DE＝2 m)的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°，则该电视发射塔的高度AB为 55 m．(结果精确到1 m．参考数据：tan 50°≈1.2，tan 26.6°≈0.5)
8．如图，数学兴趣小组到一公园测量某建筑物的高度．该建筑物剖面和台阶的剖面在同一平面．在台阶底部点A处测得该建筑物顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26 m，台阶坡面AB的坡度i＝5∶12，然后在点B处测得该建筑物顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°．求该建筑物到地面的高度EF．(参考数据：tan 50.2°≈1.20，tan 63.4°≈2.00，sin 50.2°≈0.77，sin 63.4°≈0.89)
解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG．
过点B作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP为矩形，∴FB＝HP，FH＝BP．
由i＝5∶12，可设BP＝5x m，则AP＝12x m．
由BP2＋AP2＝AB2，得(5x)2＋(12x)2＝262，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
∴BP＝FH＝10 m，AP＝24 m．
设EF＝a m，BF＝b m，
在Rt△BEF中，tan ∠EBF＝，
即tan 63.4°＝≈2．①
在Rt△EAH中，tan ∠EAH＝＝＝，即tan 50.2°＝≈1.20．②
由①②，得a≈47，b≈23.5．
答：该建筑物到地面的高度EF约为47 m．
【创新运用】
9．如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24 km，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少？(结果保留根号)
解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E．
由题意，得∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG．
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°．
∴∠ACB＝180°－∠ACG－∠BCF＝90°．
∵AB＝24 km，∴AC＝AB＝12 km，BC＝AC＝12 km．
在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝45°，
∴CD＝AC·tan 45°＝12 km．
∴BD＝BC－CD＝(12－12)km．
在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，
∴DE＝BD＝(6－6)km．
∴输油管道的最短长度是(6－6)km．
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