12　综合质量评价(一)（教师版）初中数学青岛版九年级上册

综合质量评价(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题　共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．观察下列每组图形，其中两个图形可能是相似图形的是(　C　)
A　　　　　　　 B
C　　　　　　　 D
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为(　A　)
A．3 B．
C．
3．在△ABC中，BC＝54 cm，CA＝45 cm，AB＝63 cm．另一个和它相似的三角形的最短边长为15 cm，则最长边长一定是(　B　)
A．18 cm B．21 cm
C．24 cm D．19.5 cm
4．计算：＋tan 30°·sin 60°＝(　C　)
A．－ B．2
C．
5．已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，下列作法中正确的是(　D　)
6．如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，DA1与DA的比值为k．若两个三角形的顶点及点D均在格点上，则k的值和点的坐标分别为(　A　)
A．2，(2，8) B．4，(2，8)
C．2，(2，4) D．2，(4，4)
7．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在边BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CE交AD于点E，点F是AB的中点，则S△AEF∶S四边形BDEF的值为(　D　)
第7题图
A．3∶4 B．1∶2
C．2∶3 D．1∶3
8．如图，在△ABC中，点M是AC的中点，点E，F是边BC上的两点，且BE＝EF＝FC，则BN∶NQ∶QM等于(　C　)
第8题图
A．6∶3∶2 B．2∶1∶1
C．5∶3∶2 D．1∶1∶1
9．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)，则位似中心的坐标为(　C　)
第9题图
A．(0，3) B．(0，2.5)
C．(0，2) D．(0，1.5)
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿边BC自点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值(　C　)
第10题图
A．不变 B．增大
C．减小 D．先变大再变小
11．周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边”，邀约好友一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿AC的长为4 m，露在水面上的鱼线BC的长为2 m，刘老师想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度是(　C　)
A．3 m　 B．2 m
C．2 m D．3 m
12．在锐角三角形ABC中，AB＝AC，边BC的长为6，高AD的长为4，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，则正方形PQMN的边长为(　B　)
A． 或
C．或 或
第Ⅱ卷(非选择题　共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．如果β是锐角，且tan β＝，那么sin β的值是 ．
14．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC．若△APD是等腰三角形，则PE的长为 1.2或3 ．
15．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为 3 m．
第15题图
16．如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在边BC上，DE与AB相交于点F．如果AC＝12，CD＝4，那么BF的长度为 ．
第16题图
17．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10 n mile到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为 5 n mile．(结果保留根号)
18．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为 2或14 ．
三、解答题(本大题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(6分)已知α是锐角，且sin α＝，求3cos2α＋sin(α－15°)tan (α＋15°)－cos (α－15°)的值．
解：∵sin α＝，且α是锐角，∴α＝45°．
∴原式＝3cos245°＋sin30°·tan 60°－cos 30°＝3×＋＝＝．
20．(8分)如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的点，且BP＝3PC，点Q是边CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，点Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD．∴＝．
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP．
21．(8分)在学习“功和简单机械”时有这样一个问题：如图1，均匀杆AB长为8 dm，杆AB可以绕转轴点A在竖直平面内自由转动，在点A正上方距离为10 dm 处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知AB＝8 dm，CA⊥AD于点A，且CA＝10 dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答过程，求出点A到BC的距离．(结果保留根号)
解：如图，过点B作BE⊥AC于点E．
∵CA⊥AD，∴∠DAC＝90°．
∵∠BAD＝30°，∴∠BAE＝60°．
∵∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°．
∵AB＝8 dm，∴AE＝AB＝4 dm．
∴BE＝AB＝4 dm．
∵AC＝10 dm，∴CE＝10－4＝6(dm)．
∴BC＝＝＝2(dm)．
设点A到BC的距离为h dm．
∵S△ABC＝AC·BE＝BC·h，
∴h＝＝，
即点A到BC的距离为 dm．
22．(10分)如图，在正方形ABCD中，点M为边BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交边AD的延长线于点E，交边DC于点N．
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC．
∴∠AMB＝∠EAF．
又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°．
∴∠B＝∠AFE．∴△ABM∽△EFA．
(2)解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12．
∵点F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5．
∵△ABM∽△EFA，∴＝，
即＝．
∴AE＝16.9．∴DE＝AE－AD＝4.9．
23．(10分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点E，且AE＝CE，DE＝5，EB＝12．
(1)求AD的长；
(2)若∠CAB＝30°，求四边形ABCD的周长．
解：(1)∵∠ABC＝90°，AE＝CE，EB＝12，
∴EB＝AE＝CE＝12．
∵DE⊥AC，DE＝5，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD＝＝＝13．
(2)∵在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
AC＝AE＋CE＝24，
∴BC＝12，AB＝AC·cos 30°＝12．
∵DE⊥AC，AE＝CE，∴DC＝AD＝13．
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝38＋12．
24．(12分)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽，如图，在岸边分别选定了点A，B和点C，D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽CH的长．
解：如图，过点D作DE⊥AB．
可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40 m．
设CH＝DE＝x m．
在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，
∴BE＝x m．
在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，∴AH＝x m．
由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，
得x＋40＋x＝160，
解得x＝30，即CH＝30 m．
答：该段运河的河宽CH的长为30 m．
25．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E，F分别是边AC，BC上一点．
(1)求证：＝；
(2)若CE＝AC，BF＝BC，求∠EDF的度数．
(1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ADC＝∠CDB＝90°．
又∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．
∴∠B＝∠ACD．∴△ADC∽△CDB．
∴＝．
(2)解：∵CE＝AC，BF＝BC，＝，
∴＝＝＝．
又∵∠ACD＝∠B，∴△CED∽△BFD．
∴∠CDE＝∠BDF．
∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝∠BDF＋∠CDF＝∠CDB＝90°，即∠EDF＝90°．
26．(12分)图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1 m．请解答下列问题．(结果精确到0.1 m．参考数据：≈1.73，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
(1)若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
(2)当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
图1　　　　　　　图2
图3
解：(1)∵AE＝EF＝AF＝1 m，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AFE＝60°．
如图，连接MF并延长交AE于点K，则FM＝2FK．
∵△AEF是等边三角形，∴AK＝ m．
∴FK＝＝ m．
∴FM＝2FK＝ m．
∴BC＝4FM＝4≈6.9 m．
(2)∵∠AFE＝74°，AF＝EF，
∴∠AFK＝37°．
∴KF＝AF·cos 37°≈0.80 m．
∴FM＝2FK＝1.60 m．
∴BC＝4FM＝6.40 m＜6.9 m．
6．9－6.40＝0.5(m)．
答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC减少了，减少了约0.5 m．
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