13　课时分层训练(十)　圆的对称性（教师版）初中数学青岛版九年级上册

课时分层训练(十)　圆的对称性
知识点一　圆的轴对称性与垂径定理
1．下列说法中，不正确的是(　C　)
A．圆是轴对称图形
B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　B　)
第2题图
A．5 B．4
C．3 D．2
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是(　C　)
第3题图
A． B．2
C．6 D．8
4．如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8 cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2 cm，则这个圆形工件的半径是 5 cm．
知识点二　弧、弦、圆心角之间的关系
5．下列说法中，正确的有(　A　)
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径也平分弦所对的弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠A的度数是(　A　)
A．51° B．56°
C．68° D．78°
7．如图，AB，CD是⊙O的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE＝OF．求证：＝．
证明：如图，过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于点H．
∵OE＝OF，OG⊥EF于点G，
∴∠EOG＝∠FOG．∴＝．
∵OG⊥AB于点G，OA＝OB，
∴∠AOG＝∠BOG．
∴＝．
∴＝，即＝．
知识点三　圆心角的度数和它所对弧的度数的关系
8．若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧，则该弦所对的圆心角的度数是(　A　)
A．90° B．45°
C．135° D．45°或135°
9．如图，有一块三角尺ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，点A，B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数为 120° ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心、BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为 52° ，的度数为 38° ．
11．如图，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为点M，N．如果MN＝3，那么BC＝(　C　)
A．4 B．5
C．6 D．7
12．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则该拱桥的半径为(　D　)
A．15 m B．13 m
C．9 m D．6.5 m
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝30°，则CD的长为(　D　)
A．
C．2 D．2
14．已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点M，且AB＝8 cm，则AC的长为 2或4 cm．
15．如图，A是半圆上的一个三等分点，B是 的中点，P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP＋PB的最小值为 ．
16．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，求PA＋PC的最小值．
解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，连接OB，OC，BC，此时PA＋PC的最小值即为BC的长．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，
AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9．
∴OE＝＝＝9，
OF＝＝＝12．
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21．
在Rt△BCH中，根据勾股定理，得BC＝＝＝21，即PA＋PC的最小值为21．
17．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且cos ∠ABC＝，OC＝OB．求：
(1)⊙O的半径；
(2)∠BAC的正切值．
解：(1)如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点D．
∵AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4．
在Rt△OBD中，cos ∠ABC＝，
∴OB＝＝＝5．
∴⊙O的半径为5．
(2)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E．
∵OC＝OB，OB＝5，
∴BC＝OB＝7.5．
∵OD⊥AB，∴OD∥CE．
∴＝．∴＝．∴BE＝6．
∴AE＝AB－BE＝8－6＝2．
在Rt△BCE中，
CE＝＝＝4.5．
在Rt△ACE中，
tan ∠BAC＝＝＝．
∴∠BAC的正切值为．
【创新运用】
18．如图是某蔬菜基地搭建的一座圆弧形蔬菜棚，跨度AB＝3.2 m，拱高CD＝0.8 m(C为AB的中点，D为的中点，DC⊥AB于点C)．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距蔬菜棚的一端0.4 m处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
解：(1)如图，设所在圆的圆心为O，连接OB．
∵D为的中点，DC⊥AB于点C，
∴点O在直线DC上．
∴BC＝AB＝×3.2＝1.6(m)．
设⊙O的半径为R m．
在Rt△OBC中，OB2＝OC2＋CB2，
∴R2＝(R－0.8)2＋1.62，解得R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2 m．
(2)如图，过点O作OH⊥FE，交FE的延长线于点H，易得四边形OCEH是矩形，
∴OH＝CE＝BC－BE＝1.6－0.4＝1.2(m)，OF＝2 m．
在Rt△OHF中，由勾股定理，得
HF＝＝＝1.6(m)．
∵HE＝OC＝OD－CD＝2－0.8＝1.2(m)，
∴EF＝HF－HE＝1.6－1.2＝0.4(m)，
即支撑杆EF的高度为0.4 m．
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