18　第二十四章成果展示（教师版）初中数学人教版九年级上册

第二十四章成果展示
圆
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，MO的延长线交⊙O于点E，EM＝6，则圆的半径为(　D　)
A．4 B．2
C． D．
第1题图　　　　第2题图
2．如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是(　C　)
A．25° B．50°
C．65° D．75°
3．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为(　B　)
A．70° B．55°
C．45° D．35°
第3题图
第4题图
4．如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等．若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是(　B　)
A．130° B．140°
C．150° D．160°
5．在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝6，对角线AC，BD相交于点O，以点O为圆心、3为半径作⊙O，则A，B，C，D四个点在⊙O上的个数为(　B　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)．经画图操作，可知△ABC的外心的坐标是(　A　)
A．(－2，－1) B．(1，0)
C．(0，0) D．(2，0)
第6题图
第7题图
7．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若∠P＝40°，则∠C的度数为(　C　)
A．40° B．140°
C．70° D．80°
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，Q是的中点，则∠CPQ的度数为(　B　)
A．30° B．45°
C．36° D．60°
9．如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0，3)为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是(　C　)
A．3 B．
C． D．4
第9题图
　
第10题图
10．如图，等边三角形ABC的边长为4，以BC为直径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积是(　B　)
A．2－ B．2－
C．4－ D．4－
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点．若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为 2π ．
第11题图　　　　第12题图
12．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为 52° ．
13．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 4 ．
14．在《九章算术》中记载有一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”小辉同学根据题意，画出圆材截面图如图．已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为 26 寸．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′ 与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为 4 ．
第15题图
第16题图
16．如图，⊙O的直径AB的长为8，P是 上一动点，∠APB的平分线交⊙O于点Q，点I为△APB的内心，连接QA，下列结论：①Q是定点；②PQ的最大值为8；③QI的长为定值；④AP·BP的最大值为16．
其中，正确的是 ①②③ ．(填序号)
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
(1)求证：∠BCO＝∠D；
(2)若CD＝4，AE＝2，求⊙O的半径．
(1)证明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2．
在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2．
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA－AE＝r－2，
∴r2＝(2)2＋(r－2)2，
解得r＝3．
∴⊙O的半径为3．
18．(8分)如图，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交于点C，交弦AB于点D．已知 AB＝24 cm，CD＝8 cm．
(1)作出此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求残片所在圆的面积．
解：(1)如图，连接AC，作弦AC的垂直平分线，与弦AB的垂直平分线交于点O，以点O为圆心、OA长为半径作⊙O，⊙O就是此残片所在的圆．
(2)如图，连接OA．
设OA＝x cm，则OD＝(x－8)cm．
在Rt△AOD中，AD＝AB＝12 cm．
根据勾股定理列方程，得x2＝122＋(x－8)2，
解得x＝13，
即圆的半径为13 cm．
∴圆的面积为π×132＝169π(cm2)．
19．(8分)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，如图(1)，它的底面圆的直径DE与母线AD长度之比为1∶2．制作这种外包装需要用如图(2)所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小；
(2)若圆锥底面圆的直径DE为5 cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)
(1)　　　　 　　　　(2)
第19题图
解：(1)设∠BAC＝n°．
由题意，得π·DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90．∴∠BAC＝90°．
(2)由(1)得∠BAC＝90°．
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点．
∴BC＝2AD．
∵AD＝2DE＝10 cm，
∴BC＝2AD＝20 cm．
∴S阴影＝BC·AD－S扇形AEF＝×20×10－＝(100－25π)cm2．
20．(10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别与AC和BC相交于点D和点E，连接OD，DE．求证：
(1)OD∥BC；
(2)AD＝DE．
证明：(1)∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C．
∴∠ODA＝∠C．∴OD∥BC．
(2)如图，连接OE，
∴OB＝OE．
∴∠B＝∠OEB．
由(1)知OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠OEB＝∠EOD．
∴∠AOD＝∠EOD．
∴AD＝DE．
21．(12分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过点F作FG⊥BA，垂足为G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
(1)证明：如图，连接OF，OA．
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝．
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°．
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°．
∴∠ABF＝∠BFO．
∴AB∥OF．
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG．
∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线．
(2)解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°．
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形．
∴∠AFO＝60°．
∴∠AFG＝90°－60°＝30°．
∵FG＝2，∴AF＝4．
∴AO＝4．
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF．
∴图中阴影部分的面积为＝π．
22．(12分)如图，在圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC的延长线交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，D是 　的中点．
(1)求证：BC＝DE；
(2)求证：AE是圆的直径；
(3)求圆的面积．
(1)证明：∵CD∥BE，∴∠DCE＝∠CEB．
∴＝．∴BC＝DE．
(2)证明：如图，连接AC．
∵BC∥AD，∴∠CAD＝∠BCA．
∴＝．
∴AB＝CD．
∵D是的中点，∴＝．∴CD＝DE．
又∵BC＝DE，∴AB＝BC．
又∵BM＝BC，∴AB＝BC＝BM，
即△ACB和△BCM都是等腰三角形．
在△ACM中，∠ACM＝∠ACB＋∠BCM＝×180°＝90°，
∴∠ACE＝90°．∴AE是圆的直径．
(3)解：由(1)(2)，得＝＝＝．
又∵AE是圆的直径，
∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°．
∴NA＝NE．∴∠BNA＝∠BAN＝45°，∠ABN＝90°．∴AB＝BN．
∵AB＝BM＝1，∴BN＝1．
∴AN＝NE＝．
∴BE＝NE＋BN＝＋1．
在△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝12＋(＋1)2＝4＋2．
∴S圆＝π＝π·AE2＝π．
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